【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c過點B(3,0),C(0,3),D為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式以及頂點坐標;
(2)如果點C關(guān)于拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸的對稱點為E點,連接BC,BE,求tan∠CBE的值;
(3)點M是拋物線對稱軸上一點,且△DAM和△BCE相似,求點M坐標.
【答案】
(1)解:∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點B(3,0),C(0,3),
∴ ,解得 ,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點D的坐標為(1,4)
(2)解:拋物線的對稱軸為直線x=1,
∵點C與E點為拋物線上的對稱點,
∴E(2,3),
作EH⊥BC于H,如圖1,
∵OC=OB,
∴△OBC為等腰直角三角形,
∴∠OCB=45°,BC= OB=3 ,
∴∠ECB=45°,
∴△CHE為等腰直角三角形,
∴CH=EH= CE= ,
∴BH=BC﹣CH=2 ,
在Rt△BEH中,tan∠EBH= = = ,
即tan∠CBE的值為 ;
(3)解:直線x=﹣1交x軸于F,如圖2,
當y=0時,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則A(﹣1,0)
∵A(﹣1,0),D(1,4),
∴AF=2,DF=4,
∴tan∠ADF= = ,
而tan∠CBE= ,
∴∠CBE=∠ADF,
AD= =2 ,BE= = ,BC=3 ,
當點M在點D的下方時,設(shè)M(1,m),
當 = 時,△DAM∽△BCE,
即 = ,解得m= ,
此時M點的坐標為(1, );
當 = 時,△DAM∽△BEC,
即 = ,解得m=﹣2,
此時M點的坐標為(1,﹣2);
當點M在D點上方時,則∠ADM與∠CBE互補,則△DAM和△BCE不相似,
綜上所述,滿足條件的點M坐標為(1, ),(1,﹣2)
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線,然后把解析式配成頂點式,從而得到D的坐標;(2)先利用拋物線的對稱性得到E(2,3),作EH⊥BC于H,如圖1,易得△OBC為等腰直角三角形得到∠OCB=45°,BC= OB=3 ,接著判斷△CHE為等腰直角三角形得到CH=EH= CE= ,所以BH=2 ,然后利用正切的定義求解;(3)直線x=﹣1交x軸于F,如圖2,解方程﹣x2+2x+3=0得A(﹣1,0),再利用正切定義得到tan∠AD= ,所以∠CBE=∠ADF,根據(jù)相似三角形的判定方法,當點M在點D的下方時,設(shè)M(1,m),當 = 時,△DAM∽△BCE;當 = 時,△DAM∽△BEC,于是利用相似比得到關(guān)于m的方程,解方程求出m即可得到對應的M點的坐標;當點M在D點上方時,則∠ADM與∠CBE互補,則可判斷△DAM和△BCE不相似,
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關(guān)知識點,需要掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是反映兩個變量關(guān)系的圖,下列的四個情境比較合適該圖的是( )
A.一杯熱水放在桌子上,它的水溫與時間的關(guān)系
B.一輛汽車從起動到勻速行駛,速度與時間的關(guān)系
C.一架飛機從起飛到降落的速度與時晨的關(guān)系
D.踢出的足球的速度與時間的關(guān)系
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=a(x﹣3)2+ 過點C(0,4),頂點為M,與x軸交于A、B兩點.如圖所示以AB為直徑作圓,記作⊙D,下列結(jié)論:
①拋物線的對稱軸是直線x=3;
②點C在⊙D外;
③在拋物線上存在一點E,能使四邊形ADEC為平行四邊形;
④直線CM與⊙D相切.
正確的結(jié)論是( )
A.①③
B.①④
C.①③④
D.①②③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次知識競賽中,甲、乙兩人進入了“必答題”環(huán)節(jié).規(guī)則是:兩人輪流答題,每人都要回答20個題,每個題回答正確得a分,回答錯誤或放棄回答扣b分.當甲、乙兩人恰好都答完12個題時,甲答對了8個題,得分為64分;乙答對了9個題,得分為78分.
(1)求a和b的值;
(2)規(guī)定此環(huán)節(jié)得分不低于120分能晉級,甲在剩下的比賽中至少還要答對多少個題才能順利晉級?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某校園內(nèi)有一塊菱形的空地ABCD,為了美化環(huán)境,現(xiàn)要進行綠化,計劃在中間建設(shè)一個面積為S的矩形綠地EFGH,其中,點E、F、G、H分別在菱形的四條邊上,AB=a米,BE=BF=DG=DH=x米,∠A=60°
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)若a=100,求S的最大值,并求出此時x的值.
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【題目】如圖1,E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點,D是邊BC所在直線上一點,且D與C不重合,若EC=ED.則稱D為點C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點,點E稱為反稱中心.
在平面直角坐標系xOy中,
(1)已知等邊三角形AOC的頂點C的坐標為(2,0),點A在第一象限內(nèi),反稱中心E在直線AO上,反稱點D在直線OC上.
①如圖2,若E為邊AO的中點,在圖中作出點C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點D,并直接寫出點D的坐標: ;
②若AE=2,求點C關(guān)于等邊三角形AOC的反稱點D的坐標;
(2)若等邊三角形ABC的頂點為B(n,0),C(n+1,0),反稱中心E在直線AB上,反稱點D在直線BC上,且2≤AE<3.請直接寫出點C關(guān)于等邊三角形ABC的反稱點D的橫坐標t的取值范圍: (用含n的代數(shù)式表示).
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,D是AC的中點,E是線段BC延長線上一點,過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F,連接AE,CF.
(1)求證:AF=CE;
(2)若AC=EF,試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:代數(shù)式A=2x2﹣2x﹣1,代數(shù)式B=﹣x2+xy+1,代數(shù)式M=4A﹣(3A﹣2B)
(1)當(x+1)2+|y﹣2|=0時,求代數(shù)式M的值;
(2)若代數(shù)式M的值與x的取值無關(guān),求y的值;
(3)當代數(shù)式M的值等于5時,求整數(shù)x、y的值.
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