Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l1：y=kx+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：______；

（2）點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，現(xiàn)將點(diǎn)P向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得點(diǎn)P′在射線AB上．

①求k的值；

②若點(diǎn)M在y軸上，平面內(nèi)有一點(diǎn)N，使四邊形AMBN是菱形，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

③將直線l1繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2，求直線l2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）（0，4）；（2）①k=；②N（-3，）；③直線l2的解析式為y=x+4．

【解析】

（1）令，求出相應(yīng)的y值，即可得到A的坐標(biāo)；

（2）①先設(shè)出P的坐標(biāo)，然后通過點(diǎn)的平移規(guī)律得出平移后 的坐標(biāo)，然后將代入 中即可求出k的值；

②作AB的中垂線與y軸交于M點(diǎn)，連結(jié)BM，分別作AM，BM的平行線，相交于點(diǎn)N，則四邊形AMBN是菱形, 設(shè)M（0，t），然后利用勾股定理求出t的值，從而求出OM的長(zhǎng)度，然后利用BN=AM求出BN的長(zhǎng)度，即可得到N的坐標(biāo)；

③先根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)B作BC⊥l1，交l2于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，利用等腰三角形的性質(zhì)和AAS證明△AOB≌△BDC，得出AO=BD，OB=DC，進(jìn)一步求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線l2的解析式．

（1）∵y=kx+4與y軸交于點(diǎn)A，

令， ，

∴A（0，4）．

（2）①由題意得：P（m，km+4），

∵將點(diǎn)P向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得點(diǎn)P′，

∴P′（m-3，km），

∵P′（m-3，km）在射線AB上，

∴k（m-3）+4=km，

解得：k=．

②如圖，作AB的中垂線與y軸交于M點(diǎn)，連結(jié)BM，過點(diǎn)B作AM的平行線，過點(diǎn)A作BM的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)N，則四邊形AMBN是菱形．

，

，

當(dāng) 時(shí)，，解得 ，

∴ ．

設(shè)M（0，t），則AM=BM=4-t，

在Rt△BOM中，OB2+OM2=BM2，

即32+t2=（4-t）2，

解得：t=，

∴M（0，），

∴OM=，BN=AM=4-=，

∴N（-3，）．

③如圖，過點(diǎn)B作BC⊥l1，交l2于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D．則∠ABC=∠BDC=90°，

∵∠BAC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABO+∠CBD=90°，

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠CBD，

在和中，

∴△AOB≌△BDC（AAS），

∴AO=BD=4，OB=DC=3，

∴OD=OB+BD=3+4=7，

∴C（-7，3），

設(shè)直線 l2的解析式為：y=ax+4，

則-7a+4=3，

解得：a=．

∴直線 l2的解析式為：y=x+4．