【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)(4<OA<8),以O(shè)為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M,連接OM,過點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N.

(1)求證:△ODM∽△MCN;
(2)設(shè)DM=x,求OA的長(用含x的代數(shù)式表示);
(3)在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)△CMN的周長為P,試用含x的代數(shù)式表示P,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論?

【答案】
(1)證明:∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)M,

∴∠OMN=90°;

∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;

∴∠OMD=∠MNC;

又∵∠D=∠C=90°;

∴△ODM∽△MCN


(2)解:在Rt△ODM中,DM=x,設(shè)OA=OM=R;

∴OD=AD﹣OA=8﹣R,

由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2

∴64﹣16R+R2+x2=R2,


(3)解法一:∵CM=CD﹣DM=8﹣x,

又∵ ,

且有△ODM∽△MCN,

,

∴代入得到

同理 ,

∴代入得到

∴△CMN的周長為P= =(8﹣x)+(x+8)=16.

發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個(gè)定值.

解法二:在Rt△ODM中,

設(shè)△ODM的周長P′= ;

而△MCN∽△ODM,且相似比 ;

∴△MCN的周長為P=

發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個(gè)定值.


【解析】(1)由“兩角法”易證相似;(2)由勾股定理構(gòu)建方程(8﹣R)2+x2=R2,解方程可表示出OA;(3)△CMN的周長為P= C M + C N + M N,分別用x的代數(shù)式表示CM、CN、MN,相加得出是定值16.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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根據(jù)上圖填寫下表:

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

甲班

______

乙班

______

8

______

已知甲班5名同學(xué)成績的方差是,計(jì)算乙班同學(xué)成績的方差,并比較哪個(gè)班選手的成績較為穩(wěn)定?

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1AEFC會(huì)平行嗎?說明理由.

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【題目】反比例函數(shù)y= (k≠0)與一次函數(shù)y=mx+b(m≠0)交于點(diǎn)A(1,2k﹣1).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)B,且△AOB的面積為3,求一次函數(shù)的解析式.

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【題目】對(duì)垃圾進(jìn)行分類投放,能有效提高對(duì)垃圾的處理和再利用,減少污染,保護(hù)環(huán)境.為了調(diào)查同學(xué)們對(duì)垃圾分類知識(shí)的了解程度,增強(qiáng)同學(xué)們的環(huán)保意識(shí),普及垃圾分類及投放的相關(guān)知識(shí),某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)設(shè)計(jì)了垃圾分類知識(shí)及投放情況問卷,并在本校隨機(jī)抽取部分同學(xué)進(jìn)行問卷測(cè)試,把測(cè)試成績分成優(yōu)、良、中、差四個(gè)等級(jí),繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖:

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)信息,解答下列問題:

1)求成績是優(yōu)的人數(shù)占抽取人數(shù)的百分比;

2)求本次隨機(jī)抽取問卷測(cè)試的人數(shù);

3)請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

4)若該校學(xué)生人數(shù)為3000人,請(qǐng)估計(jì)成績是優(yōu)的學(xué)生共有多少人?

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