Question

【題目】如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；

（3）若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點(diǎn)坐標(biāo)．

（4）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在動(dòng)點(diǎn)Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A，D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，連接BD，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，由拋物線的對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長(zhǎng)度，再由點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出PA+PD的最小值；

（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），由△ABM的面積等于△ABC的面積可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，m），結(jié)合點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可得出CQ2，BQ2，BC2，分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三種情況，找出關(guān)于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）將A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3．

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．

連接BD，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，如圖1所示．

∵PA＝PB，

∴此時(shí)PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長(zhǎng)度．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），

∴BD＝＝3，

∴PA+PD的最小值為3．

（3）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3）．

∵S△ABM＝S△ABC，

∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，

解得：x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）．

（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，m）．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．

分三種情況考慮（如圖2所示）：

①當(dāng)BQ＝BC時(shí)，m2+4＝10，

解得：m1＝，m2＝﹣，

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（﹣1，），點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）；

②當(dāng)CQ＝CB時(shí)，m2+6m+10＝10，

解得：m3＝0，m4＝﹣6，

∴點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)Q4的坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；

③當(dāng)QB＝QC時(shí)，m2+4＝m2+6m+10，

解得：m5＝﹣1，

∴點(diǎn)Q5的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．

綜上所述：拋物線的對(duì)稱軸上存在動(dòng)點(diǎn)Q，使得△BCQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．