【題目】我們把經(jīng)過原點(diǎn),頂點(diǎn)落在同一拋物線C上的所有拋物線稱為拋物線C的派生拋物線.

(1)若y1=﹣x2+4x是拋物線C:y=ax2+2的派生拋物線,求a的值.

(2)證明:經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=﹣mx2+2mx+m﹣2是拋物線C:y=x2+的派生拋物線;

(3)如圖,拋物線y1,y2,y3,y4…yn都是拋物線C:y=x2﹣2x+2的派生拋物線,其頂點(diǎn)A1,A2,A3,A4…An的橫坐標(biāo)分別是1、2、3、4…n,它們與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)分別是B1,B2,B3,B4…Bn,與原點(diǎn)O構(gòu)成的三角形分別為△OA1B1,△OA2B2,△OA3B3,△OA4B4…△OAnBn

請用含n的代數(shù)式表示拋物線yn的函數(shù)表達(dá)式;

在這些三角形中,是否存在兩個(gè)相似的三角形,若存在,請直接寫出它們所對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)a;(2)見解析;(3)yn=﹣xn2+n2﹣2n+2,存在.y1=﹣(x﹣1)2+1,y2=﹣(x﹣2)2+2,理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)派生拋物線的定義構(gòu)建方程求出a即可;
(2)根據(jù)派生拋物線的定義證明即可;
(3)①設(shè)yn=a(x-n)2+n2-2n+2,因?yàn)榻?jīng)過原點(diǎn),可得0=a(0-n)2+n2-2n+2,推出a=
②存在.y1=-(x-1)2+1,y2=-(x-2)2+2,理由:△OA1B1,△OA2B2都是等腰直角三角形;

(1)y1=﹣x2+4x的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,4),

y1=﹣x2+4x是拋物線Cyax2+2的派生拋物線,

4=4a+2,

(2)∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),

m﹣2=0,

m=2,

∴拋物線的解析式為y=﹣2x2+4x,頂點(diǎn)(1,2),

當(dāng)x=1時(shí),

∴拋物線的解析式為y=﹣2x2+4x,頂點(diǎn)(1,2)在拋物線C

∴經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=﹣mx2+2mx+m﹣2是拋物線C

(3)①設(shè)ynaxn2+n2﹣2n+2,

∵經(jīng)過原點(diǎn),

0=a(0﹣n2+n2﹣2n+2,

a

yn=﹣

②存在.y1=﹣(x﹣1)2+1,y2=﹣(x﹣2)2+2,

理由:OA1B1,OA2B2都是等腰直角三角形.

OA1B1OA2B2.

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【題目】圓桌面(桌面中間有一個(gè)直徑為1m的圓洞)正上方的燈泡(看作一個(gè)點(diǎn))發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影.已知桌面直徑為2m,桌面離地面1m,若燈泡離地面2m,則地面圓環(huán)形陰影的面積是( 。

A. m2 B. m2 C. m2 D. 12πm2

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【題目】韋達(dá)定理:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1、x2x1+x2=﹣ , x1x2=閱讀下面應(yīng)用韋達(dá)定理的過程:

若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的兩根分別為x1、x2x12+x22的值.

解:該一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×(﹣2)×1=24>0

由韋達(dá)定理可得,x1+x2=﹣=﹣=2,x1x2===﹣

x12+x22=(x1+x22﹣2x1x2

=22﹣2×(﹣

=5

然后解答下列問題:

(1)設(shè)一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根分別為x1,x2, 不解方程,求x12+x22的值;

(2)若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+(k2﹣1)x+(k﹣1)2=0的兩根分別為α,β,且α22=4,求k的值.

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【題目】在一個(gè)箱子里放有1個(gè)白球和2個(gè)紅球,它們除顏色外其余都相同.

(1)從箱子里摸出1個(gè)球,是黑球,這屬于什么事件;(填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”)

(2)從箱子里摸出1個(gè)球,放回,搖勻后再摸出一個(gè)球,請利用樹狀圖或表格計(jì)算,這樣先后摸得的兩個(gè)球都是紅球的概率.

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【題目】如圖,已知方格紙中的每個(gè)小方格都是相同的正方形(邊長為1),方格紙上有一個(gè)角∠AOB,AO,B均為格點(diǎn),請回答問題并只用無刻度直尺和鉛筆,完成下列作圖并簡要說明畫法:

(1)OA_____;

(2)作出AOB的平分線并在其上標(biāo)出一個(gè)點(diǎn)Q,使OQ

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A. 40° B. 41° C. 42° D. 43°

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(1)若設(shè)每件降價(jià)x元、每星期售出商品的利潤為y元,請寫出yx的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍;

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(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)P,求出PA+PD的最小值;

(3)若拋物線上有一動點(diǎn)M,使△ABM的面積等于△ABC的面積,求M點(diǎn)坐標(biāo).

(4)拋物線的對稱軸上是否存在動點(diǎn)Q,使得△BCQ為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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