【題目】如圖所示,在四邊形ABCD中,ADBC,CDBC,∠ABC60°,且AD12,BC18.動點P從點A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向點D運動,設(shè)運動時間為t秒(0t6

1)當t6時,cosBPC   

2)當△BPC的外接圓與AD相切時,求t的值;

3)在點P運動過程中,cosBPC是否存在最小值?若存在,請求出這個最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2t;(3)存在,

【解析】

1)過點AAMBCM,證四邊形AMCD為矩形,在RtABM中求出AM的長度,推出CD的長度,在RtBDC中求出cosBDC的值即可;

2)作BC的中垂線PHBC于點H,交AD于點P',連接BP',CP',作△BP'C的外接圓⊙O,則當點P運動到P'時,∴OAD相切,求出此時t的值即可;

3)連接PB,PC,設(shè)PB交⊙O于點N,連接NCOB,先證明當動點P處于P’處時,∠BPC最大,則cosBPC的值最小,再證明∠BOH=∠BP'C,求出此時cosBP'C的值即可.

解:(1)如圖1,過點AAMBCM,

CDBC,

∴∠DCB=∠AMC90°,

ADBC,

∴∠D180°﹣90°=90°,

∴四邊形AMCD為矩形,

ADMC12

BMBCMC6,

RtABM中,BM6,∠ABC60°,

AMBM6,

CDAM6,

t6時,AP2t12,

∴點P與點D重合,

如圖1,在RtBP'C中,P'C6,BC18,

BP'12

cosBP'C;

故答案為:

2)如圖2,作BC的中垂線PHBC于點H,交AD于點P',連接BP',CP',作△BP'C的外接圓⊙O,

P'BP'C,圓心O在直線P'H上,

又∵ADBC

P'HAD,

∴當點P運動到P'時,∴OAD相切,

∴∠DP'H=∠P'HC=∠HCD90°,

∴四邊形P'HCD為矩形,

P'DHCBC9,

AP'ADP'D1293

t,

∴當△BPC的外接圓與AD相切時,t;

3)存在,

如圖3,由(2)知,

t秒時,△BPC的外接圓OOAD相切于點P

P'HDC6>BC9,

P'H>BH,

∴∠BP'C<90°,圓心O在弦BC的上方,PAD上一動點,

連接PBPC,設(shè)PB交⊙O于點N,連接NC,

則∠BP'C=∠BNCBPC

∴當動點P處于P’處時,∠BPC最大,則cosBPC的值最小,

此時,連接OB,則∠BOH2BP'H=∠BP'C

由題意,知OBOP'P'HOH6OH,

RtBOH中,OH2+BH2OB2

OH2+92=(6OH2,

解得,OH,

OB6OH,

RtBOH中,

cosBOH,

∵∠BOH=∠BP'C,

cosBPC的值最小為

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1)根據(jù)上述思路,請你寫出完整的證明過程;

2)如圖,已知,分別以ABAC為邊,在BC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BF.可通過證明△________≌△________,得到;

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①齊第一次操作后得到的新數(shù)串:﹣2,   ,3,   ,6此次增加的新數(shù)之和為   ;

②出第二次操作后得到的新數(shù)中,并求第二次操作后再次增加的新數(shù)之和;

2)對依次排列的3個數(shù):13,﹣,按上述規(guī)則操作,直接寫出第三次操作后再次增加的新數(shù)之和是   

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