【題目】已知,拋物線a<0)與x軸交于A(3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,D為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)EyC點(diǎn)的上方,且CE=

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)求證:直線DEACD外接圓的切線;

(3)在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P,使,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(4)在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M,使以點(diǎn)B、CM為頂點(diǎn)的三角形與ACD相似,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】1,頂點(diǎn)D1,4);(2)證明見解析;(3P,)或(,);(4)(00)或(9,0)或(0,﹣).

【解析】

試題(1)由對(duì)稱軸求出B的坐標(biāo),由待定系數(shù)法求出拋物線解析式,即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)由勾股定理和勾股定理的逆定理證出ACD為直角三角形,ACD=90°.得出ADACD外接圓的直徑,再證明AED為直角三角形,ADE=90°.得出ADDE,即可得出結(jié)論;

(3)求出直線AC的解析式,再求出線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo),過點(diǎn)NNPAC,交拋物線于點(diǎn)P,求出直線NP的解析式,與拋物線聯(lián)立,即可得出答案;

(4)由相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

試題解析:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,點(diǎn)A(3,0),∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1,0),OA=3,將A(3,0),B(﹣1,0)代入拋物線解析式中得:,解得:,∴拋物線解析式為;當(dāng)x=1時(shí),y=4,∴頂點(diǎn)D(1,4).

(2)當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),∴AC= =,CD==,AD= =,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD為直角三角形,ACD=90°,∴ADACD外接圓的直徑,點(diǎn)E C點(diǎn)的上方,且CE=,∴E(0,),∴AE= =,DE= =,∴DE2+AD2=AE2,∴△AED為直角三角形,ADE=90°,∴ADDE,又ADACD外接圓的直徑,DEACD外接圓的切線;

(3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得:,解得:,∴直線AC的解析式為y=﹣x+3,∵A(3,0),D(1,4),∴線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,2),過點(diǎn)NNPAC,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)直線NP的解析式為y=﹣x+c,則﹣2+c=2,解得:c=4,∴直線NP的解析式為y=﹣x+4,由y=﹣x+4,y=﹣x2+2x+3聯(lián)立得:﹣x2+2x+3=﹣x+4,解得:x=x=,∴y=,或y=,∴P,)或(,);

(4)分三種情況:M恰好為原點(diǎn),滿足CMB∽△ACDM(0,0);

Mx軸正半軸上,MCB∽△ACD,此時(shí)M(9,0);

My軸負(fù)半軸上,CBM∽△ACD,此時(shí)M(0,﹣);

綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)或(0,﹣).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)當(dāng)t6時(shí),cosBPC   

2)當(dāng)△BPC的外接圓與AD相切時(shí),求t的值;

3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,cosBPC是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(3)在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P,使,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(4)在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M,使以點(diǎn)BC、M為頂點(diǎn)的三角形與ACD相似,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

2)根據(jù)圖象直接回答:當(dāng)x取何值時(shí),一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值.

3)若A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′在二次函數(shù)y3=﹣x2+mx+n的圖象上,請(qǐng)判斷二次函數(shù)y4x2+mxn3x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.

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A.B.C.D.

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