【題目】已知,拋物線a<0)與x軸交于A(3,0)、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸是直線x=1,D為拋物線的頂點,點EyC點的上方,且CE=

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)求證:直線DEACD外接圓的切線;

(3)在直線AC上方的拋物線上找一點P,使,求點P的坐標;

(4)在坐標軸上找一點M,使以點B、C、M為頂點的三角形與ACD相似,直接寫出點M的坐標.

【答案】1,頂點D1,4);(2)證明見解析;(3P,)或(,);(4)(0,0)或(9,0)或(0,﹣).

【解析】

試題(1)由對稱軸求出B的坐標,由待定系數(shù)法求出拋物線解析式,即可得出頂點D的坐標;

(2)由勾股定理和勾股定理的逆定理證出ACD為直角三角形,ACD=90°.得出ADACD外接圓的直徑,再證明AED為直角三角形,ADE=90°.得出ADDE,即可得出結論;

(3)求出直線AC的解析式,再求出線段AD的中點N的坐標,過點NNPAC,交拋物線于點P,求出直線NP的解析式,與拋物線聯(lián)立,即可得出答案;

(4)由相似三角形的性質和直角三角形的性質即可得出答案.

試題解析:(1)∵拋物線的對稱軸是直線x=1,點A(3,0),∴根據(jù)拋物線的對稱性知點B的坐標為(﹣1,0),OA=3,將A(3,0),B(﹣1,0)代入拋物線解析式中得:,解得:,∴拋物線解析式為;當x=1時,y=4,∴頂點D(1,4).

(2)當=0時,C的坐標為(0,3),∴AC= =CD==,AD= =,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD為直角三角形,ACD=90°,∴ADACD外接圓的直徑,E C點的上方,且CE=,∴E(0,),∴AE= =DE= =,∴DE2+AD2=AE2,∴△AED為直角三角形,ADE=90°,∴ADDE,又ADACD外接圓的直徑,DEACD外接圓的切線;

(3)設直線AC的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得:,解得:,∴直線AC的解析式為y=﹣x+3,∵A(3,0),D(1,4),∴線段AD的中點N的坐標為(2,2),過點NNPAC,交拋物線于點P,設直線NP的解析式為y=﹣x+c,則﹣2+c=2,解得:c=4,∴直線NP的解析式為y=﹣x+4,由y=﹣x+4,y=﹣x2+2x+3聯(lián)立得:﹣x2+2x+3=﹣x+4,解得:x=x=,∴y=,或y=,∴P,)或(,);

(4)分三種情況:M恰好為原點,滿足CMB∽△ACDM(0,0);

Mx軸正半軸上,MCB∽△ACD,此時M(9,0);

My軸負半軸上,CBM∽△ACD,此時M(0,﹣);

綜上所述,點M的坐標為(0,0)或(9,0)或(0,﹣).

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(2)求證:直線DEACD外接圓的切線;

(3)在直線AC上方的拋物線上找一點P,使,求點P的坐標;

(4)在坐標軸上找一點M,使以點B、C、M為頂點的三角形與ACD相似,直接寫出點M的坐標.

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