【題目】如圖,已知點(diǎn)A、B、P、D、C都在在⊙O上,且四邊形BCEP是平行四邊形.
(1)證明:=;
(2)若AE=BC,AB=,的長度是,求EC的長.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)連接PC,即可證得∠EPC=∠PCB,從而證得∠COD=∠POB,即可證得結(jié)論;
(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠EDC=∠PBC=∠PAC,即可證得△APE和△CDE是等邊三角形,得出∠PBC=∠E=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠EAP=60°,即可得出∠AOB=120°,作OF⊥AB于F,則∠AOF=∠AOB=60°,AF=BF=AB=,解直角三角形求得OA=1,即圓的半徑為1,由的長度是得出∠PBD=15°,即可證得∠DBC=45°,得到∠DOC=90°,解等腰直角三角形求得CD=,由等邊三角形的性質(zhì)得出CE=CD=.
(1)證明:連接PC,如圖1,
∵四邊形BCEP是平行四邊形,
∴PE∥BC,∠E=∠PBC,
∴∠EPC=∠PCB,
∴=;
(2)解:如圖2,連接AP、BD、CD、OA、OB、OC、OD、OP
∵四邊形PBCD是圓內(nèi)接四邊形,四邊形APDC是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠EDC=∠PBC=∠PAC,
∴△APE和△CDE是等邊三角形,
∴∠EAP=60°,
∵PB∥EA,
∴∠APB=∠EAP=60°,
∴∠AOB=120°,
作OF⊥AB于F,則∠AOF=∠AOB=60°,AF=BF=AB=,
∴OA==1,
∵的長度是,
∴=,
∴n=30°,
∴∠POD=30°,
∴∠PBD=15°,
∵∠PBC=∠E=60°,
∴∠DBC=45°,
∴∠DOC=90°,
∵OC=OD=1,
∴CD=,
∵△ECDs是等邊三角形,
∴EC=CD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BC是⊙O的直徑,弦AF交BC于點(diǎn)E,∠CAF=2∠B.
(1)求證:AE=AC;
(2)若⊙O的半徑為4,E是OB的中點(diǎn),求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=12,G、H是線段AB的三等分點(diǎn),P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AP,PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE,點(diǎn)P,C,E在一條直線上,=,M,N分別是對角線AC,BE的中點(diǎn),在點(diǎn)P從點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的過程中,MN的長度的取值范圍是()
A.≤MN≤6B.≤MN≤
C.≤MN≤6D.≤MN≤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)將△ABC向下平移5個(gè)單位后得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1;
(2)將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2,請畫出△A2B2C2;
(3)判斷以O,A1,B為頂點(diǎn)的三角形的形狀.(無須說明理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=6,AC=10,BC邊上的中線AD=4
(1)以點(diǎn)D為對稱中心,作出△ABD的中心對稱圖形;
(2)求點(diǎn)A到BC的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形,叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形.例如,圖中的一次函數(shù)的圖象與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B,則△OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形.
(1)求函數(shù)y=x+3的坐標(biāo)三角形的三條邊長;
(2)若函數(shù)y=x+b(b為常數(shù))的坐標(biāo)三角形周長為16,求此三角形面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,,射線交于點(diǎn),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線方向運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)作,交射線于點(diǎn),以、為鄰邊作,設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.
(1)線段的長為 (用含的代數(shù)式表示)
(2)求點(diǎn)落在上時(shí)的值;
(3)設(shè)與的重疊部分圖形的面積為(平方單位),當(dāng)時(shí),求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)當(dāng)時(shí),直接寫出為等腰三角形時(shí)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個(gè)二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表所示:
… | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | … | |
… | 0 | ﹣3 | ﹣4 | ﹣3 | 0 | … |
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;
(3)當(dāng)時(shí),直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,
(1)證明:CF=EB.
(2)證明:AB=AF+2EB.
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