【題目】(探索發(fā)現(xiàn))如圖1,△ABC中,點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,AC,AB上,且AD,BE,CF相交于同一點(diǎn)O.用”S”表示三角形的面積,有S△ABD:S△ACD=BD:CD,這一結(jié)論可通過(guò)以下推理得到:過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N,可得S△ABD:S△ACD=,又可證△BDM~△CDN,∴BM:CN=BD:CD,∴S△ABD:S△ACD=BD:CD.由此可得S△BAO:S△BCO= ;S△CAO:S△CBO= ;若D,E,F分別是BC,AC,AB的中點(diǎn),則S△BFO:S△ABC= .
(靈活運(yùn)用)如圖2,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AD,CD上,連接AF,BE和CE,AF分別交BE,CE于點(diǎn)G,M.
(1)若AE=DF.判斷AF與BE的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若點(diǎn)E,F分別是邊AD,CD的中點(diǎn),且AB=4.則四邊形EMFD的面積是 .
(拓展應(yīng)用)如圖3,正方形ABCD中,AB=4,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn).AF與BD相交于點(diǎn)P,BG⊥AF于點(diǎn)G,連接OG,請(qǐng)直接寫出S△OGP的值.
【答案】[探索發(fā)現(xiàn)] AE:EC,AF:BF,1:6.[靈活運(yùn)用](1)結(jié)論:AF=BE,AF⊥BE.(2);[拓展應(yīng)用] S△GOP=.
【解析】
【探索發(fā)現(xiàn)】利用等高模型,解決問(wèn)題即可.
【靈活運(yùn)用】
(1)結(jié)論:AF=BE,AF⊥BE.證明△BAE≌△ADF(SAS)即可解決問(wèn)題.
(2)根據(jù)對(duì)稱性可知△DME,△DMF,關(guān)于直線DM對(duì)稱,推出S△DME=S△DMF,由AE=DE,推出S△AEM=S△DME=S△DMF,求出△ADF的面積即可解決問(wèn)題.
【拓展應(yīng)用】
由△GPO∽△BPA,推出 即可解決問(wèn)題.
解:探索發(fā)現(xiàn):由題意:S△BAO:S△BCO=AE:EC;S△CAO:S△CBO=AF:BF;若D,E,F分別是BC,AC,AB的中點(diǎn),則S△BFO:S△ABC=1:6,
故答案為:AE:EC,AF:BF,1:6.
靈活運(yùn)用:(1)結(jié)論:AF=BE,AF⊥BE.
理由:如圖2中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,
∵AE=DF,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF,∠ABE=∠DAF,
∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠AEB=90°,
∴∠AGE=90°,
∴AF⊥BE.
(2)如圖2﹣1中,連接DM.
根據(jù)對(duì)稱性可知△DME,△DMF,關(guān)于直線DM對(duì)稱,
∴S△DME=S△DMF,
∵AE=DE,
∴S△AEM=S△DME=S△DMF,
∵S△ADF=×4×2=4,
∴S△AEM=S△DME=S△DMF=,
∴S四邊形EMFD=.
故答案為.
拓展應(yīng)用:如圖3中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=4,AC=BD=4,OA=OB=OD=OC=2,
∵DF=FC,
∴DF=FC=2,
∵DF∥AB,
∴,
∴OP:OB=OP:OA=1:3,
∵BG⊥PA,AO⊥OB,
∴∠AGB=∠AOB=90°,
∵∠OAP+∠APO=90°,∠PBG+∠BPG=90°,
∴∠PAO=∠PBG,
∵∠APO=∠BPG,
∴△AOP∽△BGP,
∴
∴,∵∠GPO=∠BPA,
∴△GPO∽△BPA,
∴,
∴S△ABP=S△ABD=,
∴S△GOP=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為改善教學(xué)條件,學(xué)校準(zhǔn)備對(duì)現(xiàn)有多媒體設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造,已知購(gòu)買3個(gè)鍵盤和1個(gè)鼠標(biāo)需要190元;購(gòu)買2個(gè)鍵盤和3個(gè)鼠標(biāo)需要220元;
(1)求鍵盤和鼠標(biāo)的單價(jià)各是多少元?
(2)經(jīng)過(guò)與經(jīng)銷商洽談,鍵盤打八折,鼠標(biāo)打八五折.若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買鍵盤和鼠標(biāo)共50件,且總費(fèi)用不超過(guò)1820元,則最多可購(gòu)買鍵盤多少個(gè)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲和乙兩位同學(xué)想測(cè)量一下廣場(chǎng)中央的照明燈P的高度,如圖,當(dāng)甲站在A處時(shí),乙測(cè)得甲的影子長(zhǎng)AD正好與他的身高AM相等,接著甲沿AC方向繼續(xù)向前走,走到點(diǎn)B處時(shí),甲的影子剛好是線段AB,此時(shí)測(cè)得AB的長(zhǎng)為1.2m.已知甲直立時(shí)的身高為1.8m,求照明燈的高CP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BC>AB>AC.甲、乙兩人想在BC上取一點(diǎn)P,使得∠APC=2∠ABC,其作法如下:
(甲)作AB的中垂線,交BC于P點(diǎn),則P即為所求;
(乙)以B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交BC于P點(diǎn),則P即為所求.
對(duì)于兩人的作法,下列判斷何者正確?( 。
A. 兩人皆正確B. 兩人皆錯(cuò)誤C. 甲正確,乙錯(cuò)誤D. 甲錯(cuò)誤,乙正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某賓館有若干間住房,住宿記錄提供了如下信息:
(1)4月17日全部住滿,一天住宿費(fèi)收入為12000元;
(2)4月18日有20間房空著,一天住宿費(fèi)收入為9600元;
(3)該賓館每間房每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相同.
①一個(gè)分式方程,求解該賓館共有多少間住房,每間住房每天收費(fèi)多少元?
②通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每間住房每天的定價(jià)每增加10元,就會(huì)有5個(gè)房間空閑;已知該賓館空閑房間每天每間支出費(fèi)用10元,有顧客居住房間每天每間支出費(fèi)用20元,問(wèn)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),該賓館一天的利潤(rùn)為11000元?(利潤(rùn)=住宿費(fèi)收入﹣支出費(fèi)用)
③在(2)的計(jì)算基礎(chǔ)上,你能發(fā)現(xiàn)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),該賓館一天的利潤(rùn)最大?請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直線BA的延長(zhǎng)線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若BC=8cm,tan∠CDA=,求⊙O的半徑;
(3)在(2)條件下,過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE,求四邊形OEDA的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的一條弦,且CD⊥AB于點(diǎn)E,連接AD,BC,CO
(1)當(dāng)∠BCO=25°時(shí),求∠A的度數(shù);
(2)若CD=4,BE=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求證:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】菱形ABCD中、∠BAD=120°,點(diǎn)O為射線CA 上的動(dòng)點(diǎn),作射線OM與直線BC相交于點(diǎn)E,將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到射線ON,射線ON與直線CD相交于點(diǎn)F.
(1)如圖①,點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)E,F分別在線段BC,CD上,請(qǐng)直接寫出CE,CF,CA三條段段之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,點(diǎn)O在CA的延長(zhǎng)線上,且OA=AC,E,F分別在線段BC的延長(zhǎng)線和線段CD的延長(zhǎng)線上,請(qǐng)寫出CE,CF,CA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)O在線段AC上,若AB=6,BO=2,當(dāng)CF=1時(shí),請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng).
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