【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.
(1)如圖1,四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證:中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)四邊形EFGH是菱形;(3)四邊形EFGH是正方形.
【解析】分析:(1)如圖1中,連接BD,根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG,EH=FG即可.
(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再證明EF=FG即可.
(3)四邊形EFGH是正方形,只要證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.
詳解:(1)如圖1,連接BD,
∵點(diǎn)E、H分別為邊AB、AD的中點(diǎn),
∴EH∥BD、EH=BD,
∵點(diǎn)F、G分別為BC、DC的中點(diǎn),
∴FG∥BD、FG=BD,
∴EH=FG、EH∥FG,
∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)四邊形EFGH是菱形,
如圖2,連接AC、BD,
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD,
在△APC和△BPD中,
AP=BP,∠APC=∠BPD,PC=PD,
∴△APC≌△BPD(SAS),
∴AC=BD,
∵點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、CD的中點(diǎn),
∴EF=AC、FG=BD,
∴EF=FG,
∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴四邊形EFGH是菱形;
(3)四邊形EFGH是正方形,
設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O,AC與PD交于點(diǎn)M,AC與EH交于點(diǎn)N,
∵△APC≌△BPD,
∴∠ACP=∠BDP,
∵∠DMO=∠CMP,
∴∠COD=∠CPD=90°,
∵EH∥BD、AC∥HG,
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,
∵四邊形EFGH是菱形,
∴四邊形EFGH是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是的角平分線,、分別是邊、的中點(diǎn),連接、,在不再連接其他線段的前提下,要使四邊形成為菱形,還需添加一個(gè)條件,這個(gè)條件不可能是( )
A. BD=DC B. AB=AC
C. AD=BC D. AD⊥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料:
小明在學(xué)習(xí)二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索:
設(shè)(其中、、、均為整數(shù)),則有.
,.這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法.
請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí),若,用含、的式子分別表示、,得: , ;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)、、、填空: ;
(3)若,且、、均為正整數(shù),求的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一張長(zhǎng)與寬之比為的矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作:對(duì)折并沿折痕剪開(kāi),發(fā)現(xiàn)每一次所得到的兩個(gè)矩形紙片長(zhǎng)與寬之比都是(每一次的折痕如下圖中的虛線所示).已知AB=1,則第3次操作后所得到的其中一個(gè)矩形紙片的周長(zhǎng)是 ;第2016次操作后所得到的其中一個(gè)矩形紙片的周長(zhǎng)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用“”規(guī)定一種新運(yùn)算:對(duì)于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定ab=ab+2ab+a. 如:13=1×3+2×1×3+1=16
(1)求3(﹣1)的值;
(2)若(a+1)2=36,求a的值;
(3)若m=2x,n=(x)3(其中x為有理數(shù)),試比較m、n的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是
A.a(chǎn)>0
B.當(dāng)-1<x<3時(shí),y>0
C.c<0
D.當(dāng)x≥1時(shí),y隨x的增大而增大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電信公司有A、B兩種計(jì)費(fèi)方案:月通話費(fèi)用y(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的關(guān)系,如圖所示,下列說(shuō)法中正確的是( )
A.月通話時(shí)間低于200分鐘選B方案劃算
B.月通話時(shí)間超過(guò)300分鐘且少于400分鐘選A方案劃算
C.月通話費(fèi)用為70元時(shí),A方案比B方案的通話時(shí)間長(zhǎng)
D.月通話時(shí)間在400分鐘內(nèi),B方案通話費(fèi)用始終是50元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù),點(diǎn)表示數(shù),點(diǎn)表示數(shù),是多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù),是絕對(duì)值最小的整數(shù),單項(xiàng)式的次數(shù)為.
(1)= ,= ,= ;
(2)若將數(shù)軸在點(diǎn)處折疊,則點(diǎn)與點(diǎn) 重合( 填“能”或“不能”);
(3)點(diǎn)開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn) 和點(diǎn)分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度和2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),秒鐘過(guò)后,若點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離表示為,點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為,則= , = (用含的代數(shù)式表示);
(4)請(qǐng)問(wèn):AB+BC的值是否隨著時(shí)間的變化而改變?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求其值.
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【題目】某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元,銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.
(1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn);
(2)該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái),其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍,設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái),這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元.
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái),才能使銷售總利潤(rùn)最大?
(3)實(shí)際進(jìn)貨時(shí),廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m(0<m<100)元,且限定商店最多購(gòu)進(jìn)A型電腦70臺(tái).若商店保持兩種電腦的售價(jià)不變,請(qǐng)你根據(jù)以上信息及(2)中條件,設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)電腦銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案.
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