【題目】已知關(guān)于x的方程(a+2)x2﹣2ax+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2, 拋物線y=x2﹣(2a+1)x+2a﹣5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為位于點(diǎn)(2,0)的兩旁,若|x1|+|x2|=2,則a的值為________.
【答案】﹣1
【解析】
試題由關(guān)于x的方程(a+2)x2﹣2ax+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0和根的判別式求出a的取值范圍.設(shè)拋物線y=x2﹣(2a+1)x+2a﹣5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(α,0)、(β,0),且α<β,得出α、β是關(guān)于x的方程x2﹣(2a+1)x+2a﹣5=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,由拋物線y=x2﹣(2a+1)x+2a﹣5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)(2,0)的兩旁,利用根與系數(shù)的關(guān)系確定a的取值范圍;把|x1|+|x2|=2 變形后,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值.
解:∵關(guān)于x的方程(a+2)x2﹣2ax+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴且,
解得:a<0,且a≠﹣2 ①
設(shè)拋物線y=x2﹣(2a+1)x+2a﹣5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(α,0)、(β,0),且α<β,
則α、β是關(guān)于x的方程x2﹣(2a+1)x+2a﹣5=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∵△=[﹣(2a+1)]2﹣4×1×(2a﹣5)=(2a﹣1)2+21>0,
∴a為任意實(shí)數(shù)②
由根與系數(shù)關(guān)系得:α+β=2a+1,αβ=2a﹣5.
∵拋物線y=x2﹣(2a+1)x+2a﹣5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)(2,0)的兩旁,
∴α<2,β>2,
∴(α﹣2)(β﹣2)<0,
∴αβ﹣2(α+β)+4<0,
∴2a﹣5﹣2(2a+1)+4<0
解得:a>﹣③
由①、②、③得a的取值范圍是﹣<a<0;
∵x1和x2是關(guān)于x的方程(a+2)x2﹣2ax+a=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴x1+x2=,x1x2=,
∵﹣<a<0,
∴a+2>0,
∴x1x2=<0.
不妨設(shè)x1>0,x2<0,
∴|x1|+|x2|=x1﹣x2=2 ,
∴x12﹣2x1x2+x22=8,即(x1+x2)2﹣4x1x2=8,
∴()2﹣=8,
解這個(gè)方程,得:a1=﹣4,a2=﹣1,
經(jīng)檢驗(yàn),a1=﹣4,a2=﹣1都是方程()2﹣=8的根.
∵a=﹣4<﹣,舍去,
∴a=﹣1為所求.
故答案為﹣1.
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【題目】在美化校園的活動(dòng)中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設(shè)AB=xm.
(1)若花園的面積為192m2, 求x的值;
(2)若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細(xì)),求花園面積S的最大值.
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【題目】如圖,四邊形OBCD中的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上,點(diǎn)A是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C、D重合).
(1)若點(diǎn)A在優(yōu)弧上,且圓心O在∠BAD的內(nèi)部,已知∠BOD=120°,則∠OBA+∠ODA= °.
(2)若四邊形OBCD為平行四邊形.
①當(dāng)圓心O在∠BAD的內(nèi)部時(shí),求∠OBA+∠ODA的度數(shù);
②當(dāng)圓心O在∠BAD的外部時(shí),請(qǐng)畫出圖形并直接寫出∠OBA與∠ODA的數(shù)量關(guān)系.
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