【題目】如圖,我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點,拋物線的解析式為y=(x﹣1)2﹣4,AB為半圓的直徑,則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為_____.
【答案】3+
【解析】
利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B、D的坐標,進而可得出OD、OA、OB,根據(jù)圓的性質(zhì)可得出OM的長度,在Rt△COM中,利用勾股定理可求出CO的長度,再根據(jù)CD=CO+OD即可求出結(jié)論.
當x=0時,y=(x﹣1)2﹣4=﹣3,
∴點D的坐標為(0,﹣3),
∴OD=3;
當y=0時,有(x﹣1)2﹣4=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,
∴點A的坐標為(﹣1,0),點B的坐標為(0,3),
∴AB=4,OA=1,OB=3.
連接CM,則CM=AB=2,OM=1,如圖所示.
在Rt△COM中,CO==,
∴CD=CO+OD=3+.
故答案為:3+.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2﹣(3m+1)x+2m2+m(m>0),與y軸交于點C,與x軸交于點A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2.
(1)求2x1﹣x2+3的值;
(2)當m=2x1﹣x2+3時,將此拋物線沿對稱軸向上平移n個單位,使平移后得到的拋物線頂點落在△ABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊),求n的取值范圍(直接寫出答案即可).
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【題目】(1)如圖1,△ABC中,作∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O,過點O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F.
①求證:OE=BE.
②若△ABC的周長是25,BC=9,試求出△AEF的周長.
(2)如圖2,若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點P,連接AP,若∠BAC=80°,∠PAC的度數(shù)?
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,F是CD上一點,E是BF上一點,連接AE、AC、DE.若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=70°,AE平分∠BAC,則下列結(jié)論中:①△ABE≌△ACD:②BE=EF;③∠BFD=110°;④AC垂直平分DE,正確的個數(shù)有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點P在AC上運動,點D在AB上,PD始終保持與PA相等,BD的垂直平分線交BC于點E,交BD于點F,連接DE.
(1)判斷DE與DP的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AC=6,BC=8,PA=2,求線段DE的長.
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【題目】在ABCD中,E、F分別是AD、BC上的點,將平行四邊形ABCD沿EF所在直線翻折,使點B與點D重合,且點A落在點A′處.
(1)求證:△A′ED≌△CFD;
(2)連結(jié)BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四邊形BFDE的面積.
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【題目】如圖,AB是⊙O直徑,點C在⊙O上,
AD平分∠CAB,BD是⊙O的切線,AD與BC相交于點E.
(1)求證:BD=BE;
(2)若DE=2,BD=,求CE的長.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,點A、B、C在x軸上,點D、E在y軸上,OA=OD=2,OC=OE=4,B為線段OA的中點,直線AD與經(jīng)過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點,與其對稱軸交于M,點P為線段FG上一個動點(與F、G不重合),PQ∥y軸與拋物線交于點Q.
(1)求經(jīng)過B、E、C三點的拋物線的解析式;
(2)判斷△BDC的形狀,并給出證明;當P在什么位置時,以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形,并求出此時點P的坐標;
(3)若拋物線的頂點為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀:①能否成為菱形;②能否成為等腰梯形?若能,請直接寫出點P的坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】(1)課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:
如圖①,△ABC中,若AB=13,AC=9,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD至點E,使DE=AD,連接BE.請根據(jù)小明的方法思考:
Ⅰ.由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB,依據(jù)是 .
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
Ⅱ.由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是 .
解后反思:題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件,可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中.
(2)如圖②,AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且∠FAE=∠AFE.若AE=4,EC=3,求線段BF的長.
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