Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，若|ax2+bx+c|=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】k=0或k＞2．

【解析】

先根據(jù)題意畫(huà)出y＝|ax2＋bx＋c|的圖象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，k的取值范圍．

解：∵當(dāng)ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸上方，

∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，

∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸上方部分的圖象．

∵當(dāng)ax2＋bx＋c＜0時(shí)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸下方，

∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，

∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對(duì)稱(chēng)的圖象．

∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是－2，

∴函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對(duì)稱(chēng)的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是2，

∴y＝|ax2＋bx＋c|的圖象如右圖．

∵觀察圖象可得當(dāng)k≠0時(shí)，

函數(shù)圖象在直線y＝2的上方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有兩個(gè)，

函數(shù)圖象在直線y＝2上時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有三個(gè)，

函數(shù)圖象在直線y＝2的下方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有四個(gè)，

∴若|ax2＋bx＋c|＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則函數(shù)圖象應(yīng)該在y＝2的上邊，

故k＝0或k＞2．