Question

（本小題滿分12分）如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP垂直x軸于點(diǎn)P，連接AC交NP于Q，連接MQ．

（1）點(diǎn)     （填M或N）能到達(dá)終點(diǎn)；
（2）求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；
（3）是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）M；（2），當(dāng)時(shí)，S的值最大；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0），理由見(jiàn)試題解析．

試題分析：（1）（BC÷點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度）與（OA÷點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度）可知點(diǎn)M能到達(dá)終點(diǎn)．
（2）經(jīng)過(guò)t秒時(shí)可得NB=y，OM﹣2t．根據(jù)∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)t的值求出S的最大值．
（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．
試題解析：（1）點(diǎn)M．
（2）經(jīng)過(guò)秒時(shí)，NB=，OM=，則CN=，AM=，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=，∴PQ=，
∴S_△AMQ=AM•PQ==．∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，S的值最大．
（3）存在．
設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí)，NB=，OM=，則CN=，AM=，∴∠BCA=∠MAQ=45°．
①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高，∴PQ是底邊MA的中線，∴PQ=AP=MA，
∴，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）．
②若∠QMA=90°，此時(shí)QM與QP重合，∴QM=QP=MA，∴，解得：，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．