Question

已知拋物線C₁的頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)（0，）．將拋物線C₁向下平移h個單位（h＞0）得到拋物線C₂．一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)（如圖），且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m²（m＞0）．

（1）求拋物線C₁的解析式的一般形式；
（2）當(dāng)m=2時，求h的值；
（3）若拋物線C₁的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，與拋物線C₂交于點(diǎn)F．求證：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)式形式（a≠0），
∵拋物線過點(diǎn)（0，），∴，解得a=。
∴拋物線C₁的解析式為，一般形式為。
（2）當(dāng)m=2時，m²=4，
∵BC∥x軸，∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為4。
∴，解得x₁=5，x₂=﹣3。
∴點(diǎn)B（﹣3，4），C（5，4）。
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，4）。
設(shè)拋物線C₂的解析式為，
則，解得h=5。
（3）證明：∵直線AB與x軸的距離是m²，∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為m²。
∴，解得x₁=1+2m，x₂=1﹣2m。
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2m，m²）。
又∵拋物線C₁的對稱軸為直線x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m。
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1﹣2m，m²）。
∴。
設(shè)拋物線C₂的解析式為，
則，解得h=2m+1。
∴EF=h+m²=m²+2m+1。
∴。

試題分析：（1）設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)式形式（a≠0），然后把點(diǎn)（0，）代入求出a的值，再化為一般形式即可。
（2）先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C₂的解析式，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值即可。
（3）先把直線AB與x軸的距離是m²代入拋物線C₁的解析式求出C的坐標(biāo)，從而求出CE，再表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性表示出ED，根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C₂的解析式，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證。