【題目】如圖,BE是⊙O的直徑,點A和點D是⊙O上的兩點,連接AEAD,DE,過點A作射線交BE的延長線于點C,使∠EAC=∠EDA

1)求證:AC是⊙O的切線;

2)若CEAE2,求陰影部分的面積.

【答案】1)見解析;(22π-

【解析】

1)連接OA,過OOFAEf,得到∠EAO+AOF=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠EDA=AOF,推出OAAC,得到AC是⊙O的切線;
2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=EAC,得到∠AEO=2EAC,推出△OAE是等邊三角形,根據(jù)扇形的面積公式得到S扇形AOE=π,求得SAOE=AEOF=××3=,于是得到結(jié)論.

解:(1)證明:連接OA,過OOFAEF
∴∠AFO=90°
∴∠EAO+AOF=90°,
OA=OE,
∴∠EOF=AOF=AOE,
∵∠EDA=AOE,
∴∠EDA=AOF,
∵∠EAC=EDA
∴∠EAC=AOF,
∴∠EAO+EAC=90°,
∵∠EAC+EAO=CAO,
∴∠CAO=90°,
OAAC,
AC是⊙O的切線;
2)解:∵CE=AE=,

∴∠C=EAC,
∵∠EAC+C=AEO,
∴∠AEO=2EAC,
OA=OE,
∴∠AEO=EAO
∴∠EAO=2EAC,
∵∠EAO+EAC=90°,
∴∠EAC=30°,∠EAO=60°,
∴△OAE是等邊三角形,
OA=AE,∠EOA=60°
OA=,

S扇形AOE==2π,
RtOAF中,OF=OAsinEAO=×=3,
SAOE=AEOF=××3=,

∴陰影部分的面積=2π-.

練習冊系列答案
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