Question

【題目】閱讀理解：若在一個(gè)兩位正整數(shù)N的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之間添上數(shù)字6，組成一個(gè)新的三位數(shù)，我們稱這個(gè)三位數(shù)為N的“至善數(shù)”，如34的“至善數(shù)為364”；若將一個(gè)兩位正整數(shù)M加6后得到一個(gè)新數(shù)，我們稱這個(gè)新數(shù)為M的“明德數(shù)”，如34的“明德數(shù)為40”．

（1）30的“至善數(shù)”是　 　，“明德數(shù)”是　 　．

（2）求證：對(duì)任意一個(gè)兩位正整數(shù)A，其“至善數(shù)”與“明德數(shù)”之差能被9整除；

（3）若一個(gè)兩位正整數(shù)B的明德數(shù)的各位數(shù)字之和是B的至善數(shù)各位數(shù)字之和的一半，求B的最大值．

Answer 1

【答案】（1）360；36；（2）答案見(jiàn)解析；（3）84.

【解析】

（1）根據(jù)“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的定義計(jì)算即可得答案；（2）設(shè)A的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，分別寫(xiě)出A的“至善數(shù)”和“明德數(shù)”，求差，化簡(jiǎn)，表示出9的倍數(shù)，即可證明；（3）設(shè)B的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，分別寫(xiě)出B的“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，“明德數(shù)”的個(gè)位可能存在進(jìn)位，故分兩類計(jì)算即可.

解：（1）在3和0之間添上數(shù)字6,

∴30的“至善數(shù)是360；“明德數(shù)“是30+6=36

故答案為：360；36．

（2）證明：設(shè)A的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b

則其“至善數(shù)與“明德數(shù)“分別為：

100a+60+b；10a+b+6

它們的差為：

100a+60+b-（10a+b+6）

=90a+54

=9（10a+6）

∴其“至善數(shù)與“明德數(shù)“之差能被9整除．

（3）設(shè)B的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b

則B的至善數(shù)的各位數(shù)字之和是a+6+b

B的明德數(shù)各位數(shù)字之和是a+b+6（當(dāng)0≤b＜4時(shí)）或a+1+（6+b-10）（當(dāng)4≤b≤9時(shí)）

由題意得：0≤b＜4時(shí)，a+b+6=（a+6+b）

∴a+b=-6，不符合題意；

當(dāng)4≤b≤9時(shí)，a+1+（6+b-10）=（a+6+b）

∴a+b=12

∴當(dāng)b=4，a=8時(shí)，B最大，最大值為84．