【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,CD是弦,AB⊥CD于E,OF⊥AC于F,BE=OF.
(1)求證:OF∥BC;
(2)求證:△AFO≌△CEB;
(3)若EB=5cm,CD=cm,設(shè)OE=x,求x值及陰影部分的面積
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)x=5;
【解析】
(1)已知AB是⊙O的直徑,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得 ∠ACB=90°,再由OF⊥AC,即可證得OF∥BC;(2)由兩直線平行,同位角相等可得∠AOF=∠B,再由∠AFO=∠CEB=90°,OF=BE,利用ASA即可證明△AFO≌△CEB;(3)連接OD,利用陰影部分面積=扇形COD的面積-△COD的面積即可求解.
(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵OF⊥AC,
∴OF∥BC;
(2)∵OF∥BC,
∴∠AOF=∠B,
∵AB是⊙O的直徑,AB⊥CD,
∴∠BEC=90°,
∵OF⊥AC,
∴∠AFO=∠BEC=90°,
∵在△AFO和△CEB中
∠AFO=∠CEB,OF=BE,∠AOF=∠B,
∴△AFO≌△CEB(ASA);
(3)連接OD,
由垂徑定理得:CE=DE=5cm,
∵EB=5cm,
∴∠ABC=60°,因?yàn)?/span>OB=OC,
則△OBC是等邊三角形,
∴∠BOC=60°,
則弧CD所對(duì)的圓心角是120°,
在Rt△OCE中,由勾股定理得: ,x=5(cm),
則扇形COD的面積為 .
∵OE=5cm,∴△COD的面積為 ;
∴陰影部分面積為: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,折痕為EF,則下列結(jié)論:①△ABE的面積為6cm2,②BF的長(zhǎng)為5cm,③EF的長(zhǎng)為cm,④四邊形CDEF的面積是13.5cm2.其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A.4B.3C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=x2﹣(m﹣1)x﹣m(m>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=3OA.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)動(dòng)點(diǎn)D在線段BC下方的拋物線上.
①連接AC、BC,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,交BC于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC,垂足為G.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,線段FG的長(zhǎng)為d,用含t的代數(shù)式表示d;
②過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H,連接CD.是否存在點(diǎn)D,使得△CDH中的一個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍?如果存在,求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2-2x-3.
(1)求圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)當(dāng)x為何值時(shí),y隨x的增大而增大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,對(duì)角線AC將正方形ABCD分成兩個(gè)等腰三角形,點(diǎn)E,F將對(duì)角線AC三等分,且AC=15,點(diǎn)P在正方形的邊上,則滿足PE+PF=5的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.4C.8D.16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).
(1)如圖①,若點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn),且DE⊥DF.
①求證:BE=AF;
②若S△BDE=S△ABC=2,求S△CDF;
(2)若點(diǎn)E、F分別為AB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且DE⊥DF.
①BE=AF還成立嗎?請(qǐng)利用圖②說(shuō)明理由;
②若S△BDE=S△ABC=8,直接寫(xiě)出DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一棵古樹(shù)BH和教學(xué)樓CG的高,先在A處用高1.5米的測(cè)角儀測(cè)得古樹(shù)頂端H的仰角∠HDE為45°,此時(shí)教學(xué)樓頂端G恰好在視線DH上,再向前走7米到達(dá)B處,又測(cè)得教學(xué)樓頂端G的仰角∠GEF為60°,點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在同一水平線上.
(1)計(jì)算古樹(shù)BH的高;
(2)計(jì)算教學(xué)樓CG的高.(參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A1,A2,A3,…分別在x軸上,點(diǎn)B1,B2,B3,…分別在直線y=x上,△OA1B1,△B1A1A2,△B1B2A2,△B2A2A3,△B2B3A3…,都是等腰直角三角形,如果OA1=1,則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有長(zhǎng)為的籬笆,一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為),圍成中間隔有一道籬笆(平行于)的矩形花圃.設(shè)花圃的一邊為.
則________(用含的代數(shù)式表示),矩形的面積________(用含的代數(shù)式表示);
如果要圍成面積為的花圃,的長(zhǎng)是多少?
將中表示矩形的面積的代數(shù)式通過(guò)配方,問(wèn):當(dāng)等于多少時(shí),能夠使矩形花圃面積最大,最大的面積為多少?
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