Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AC交AD的延長線于點E，F為CE的中點，連結(jié)DB，DF．

（1）求∠CDE的度數(shù)．

（2）求證：DF是⊙O的切線．

（3）若tan∠ABD=3時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠CDE=90°；（2）詳見解析；（3）=．

【解析】

（1）因為對角線AC為⊙O的直徑，可得∠ADC=90°，即∠CDE=90°；

（2）連接OD，證明DF=CF，可得∠FDC=∠FCD，因為OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，即∠ODF=∠OCF=90°，可得DF是⊙O的切線；

（3）證明∠E=∠DCA=∠ABD，可得tan∠E=tan∠DCA=tan∠ABD=3，設(shè)DE=x，則CD=3x，AD=9x，在Rt△ADC中，求得AC的長，即可得出的值．

（1）∵對角線AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠CDE=180°-90°=90°；

（2）如圖，連接OD，

∵∠CDE=90°，F為CE的中點，

∴DF=CF，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠FDC+∠ODC=∠FCD+∠OCD，即∠ODF=∠OCF，

∵CE⊥AC，

∴∠ODF=∠OCF=90°，即OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線．

（3）∵∠E=90°-∠ECD=∠DCA=∠ABD，

∴tanE=tan∠DCA=tan∠ABD=3，

設(shè)DE=x，則CD=3x，AD=9x，

∴AC=，

∴=．