Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，直線CE交拋物線于點(diǎn)F(異于點(diǎn)C)，直線CD交x軸交于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求直線CE的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖1，點(diǎn)P為直線CF上方拋物線上一點(diǎn)，連接PC、PF，當(dāng)△PCF的面積最大時(shí)，點(diǎn)M是過P垂直于x軸的直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，求FM+MN+NO的最小值；

(3)如圖2，過點(diǎn)D作DI⊥DG交x軸于點(diǎn)I，將△GDI沿射線GB方向平移至△G′D′I′處，將△G′D′I′繞點(diǎn)D′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0＜α＜180°)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定度數(shù)時(shí)，點(diǎn)G′會(huì)與點(diǎn)I重合，記旋轉(zhuǎn)過程中的△G′D′I′為△G″D′I″，若在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，直線G″I″分別交x軸和直線GD′于點(diǎn)K、L兩點(diǎn)，是否存在這樣的K、L，使△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形？若存在，求此時(shí)GL的長．

Answer 1

【答案】(1) D(2，)；y＝x﹣；(2)；(3)存在，GL的長為4或2+2．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線對稱軸求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求得CE的解析式.

（2）根據(jù)題意求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，過P作PH⊥x軸，交CE于H， 設(shè)P(a，﹣a2+2a﹣) 則H(a，a﹣)，將PH和△PCF的面積表示出來，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可得△PCF的面積最大值.作點(diǎn)M關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)M'，過F點(diǎn)作FG∥MM'，易證FGM'M是平行四邊形，FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)O，N，M'，G四點(diǎn)共線時(shí)，GM'+NM'+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，代入數(shù)值即可求得.

（3）用待定系數(shù)法求得直線CD的函數(shù)解析式，求得G點(diǎn)坐標(biāo)和DG的長度，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定度數(shù)時(shí)，點(diǎn)G′會(huì)與點(diǎn)I重合，連接D'I，證得△G'D'I是等邊三角形，分情況討論即可得到GL的長.

解：(1)∵拋物線y＝﹣x2+2x﹣與y軸交于點(diǎn)C，

∴C(0，﹣)，

∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴頂點(diǎn)D(2，)，對稱軸x＝2，

∴E(2，0)，

設(shè)CE解析式y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線CE的解析式：y＝x﹣；

(2) ∵直線CE交拋物線于點(diǎn)F(異于點(diǎn)C)，

∴x﹣＝﹣(x﹣2)2+，

∴x1＝0，x2＝3，

∴F(3，)，

過P作PH⊥x軸，交CE于H，如圖1，

設(shè)P(a，﹣a2+2a﹣) 則H(a，a﹣)，

∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣(a﹣)，

＝﹣a2+，

∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，

∴當(dāng)a＝時(shí)，S△CFP面積最大，

作點(diǎn)M關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)M'，過F點(diǎn)作FG∥MM'，FG＝1，即G(4，)，如圖2

∵M的橫坐標(biāo)為，且M與M'關(guān)于對稱軸x＝2對稱，

∴M'的橫坐標(biāo)為，

∴MM'＝1，

∴MM'＝FG，且FG∥MM'，

∴FGM'M是平行四邊形，

∴FM＝GM'，

∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)O，N，M'，G四點(diǎn)共線時(shí)，GM'+NM'+ON的值最短，即 FM+MN+ON的值最小，

∴FM+MN+ON＝OG＝＝；

(3)如圖3，設(shè)CD解析式y＝mx+n，則，

解得：，

∴CD解析式y＝x﹣，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1．即G(1，0)，

∴DG＝＝2，

∵tan∠DGI＝＝，

∴∠DGI＝60°，

∵DI⊥DG，

∴∠GDI＝90°，∠GID＝30°，

∴GI＝2DG＝4

∴I(5，0)，

∵將△GDI沿射線GB方向平移至△G′D′I′處，將△G′D′I′繞點(diǎn)D′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0＜α＜180°)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定度數(shù)時(shí)，點(diǎn)G′會(huì)與點(diǎn)I重合，連接D'I，

∴G'D'＝D'I＝DG＝2，∠D'G'I＝∠DGI＝60°，

∴△G'D'I是等邊三角形，

∴G'I＝2，G'K＝2D'G'＝4

∴G'(3，0)，

如圖4，當(dāng)I'與I、K重合，△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形，∠LGK＝∠GLK＝30°，

∴GL＝D'G+D'L＝4；

如圖5，L與G'重合，△GKL為以∠LGK為底角的等腰三角形，

∴GL＝GD'+D'L＝2+2

綜上，GL的長為4或2+2．