Question

【題目】綜合與實(shí)踐：制作無蓋盒子

任務(wù)一：如圖1，有一塊矩形紙板，長是寬的2倍，要將其四角各剪去一個(gè)正方形，折成高為4cm，容積為的無蓋長方體盒子紙板厚度忽略不計(jì)．

請?jiān)趫D1的矩形紙板中畫出示意圖，用實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕．

請求出這塊矩形紙板的長和寬．

任務(wù)二：圖2是一個(gè)高為4cm的無蓋的五棱柱盒子直棱柱，圖3是其底面，在五邊形ABCDE中，，，，．

試判斷圖3中AE與DE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

圖2中的五棱柱盒子可按圖4所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個(gè)矩形紙板的長和寬至少各為多少cm？請直接寫出結(jié)果圖中實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì)．

Answer 1

【答案】任務(wù)一：（1）作圖見試題解析；（2）30，15；任務(wù)二（1）AE=DE；（2），．

【解析】

試題任務(wù)一：（1）按要求畫出示意圖即可；

（2）設(shè)矩形紙板的寬為xcm，則長為2xcm，根據(jù)題意列出方程，解出即可．

任務(wù)二：（1）AD=DE，延長EA、ED分別交直線BC于點(diǎn)M、N，先證明△MAB≌△NDC，得到AM=DN即可；

（2）如圖4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，由已知得，AG=DF=4，連接AD，GF，過B，C分別作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，過E作EP⊥AD于P，則GF即為矩形紙板的長，MN=BC=12，AP=DP，得到∠BAM=∠CDN=60°，求出AM、DN、BM、CN的長，然后通過三角形相似即可得到結(jié)果．

試題解析：任務(wù)一：（1）如圖1所示：

（2）設(shè)矩形紙板的寬為xcm，則長為2xcm，由題意得：4（x﹣2×4）（2x﹣2×4）=616，解得：，（舍去），∴2x=2×15=30，

答：矩形紙板的長為30cm，寬為15cm；

任務(wù)二：（1）AE=DE，證明如下：延長EA，ED分別交直線BC于M，N，∵∠ABC=∠BCD=120°，∴∠ABM=∠DCN=60°，∵∠EAB=∠EDC=90°，∴∠M=∠N=30°，∴EM=EN，在△MAB與△NDC中，∵∠M=∠N，∠ABM=∠DCN，AB=DC，∴△MAB≌△NDC，∴AM=DN，∴EM﹣AM=EN﹣DN，∴AE=DE；

（2）如圖4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，由已知得，AG=DF=4，連接AD，GF，過B，C分別作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，過E作EP⊥AD于P，則GF即為矩形紙板的長，MN=BC=12，AP=DP，∴∠BAM=∠CDN=60°，∵AB=CD=6，∴AM=DN=3，BM=CN=，∴AP=AD=（3+3+12）=9，∴AE=，PE=，∵AD∥GF，∴△EAD∽△EGF，∴，∴GF=，∴矩形紙板的長至少為，矩形紙板的寬至少為PE+BM++4==．