【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC交O于點(diǎn)D,E是弧CD的中點(diǎn),連接AE交BC于點(diǎn)F,∠ABC=2∠EAC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若 tanB=,BD=6,求CF的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)CF的長(zhǎng)為.
【解析】
(1)連結(jié)AD,如圖,根據(jù)圓周角定理,由E是的中點(diǎn),得到∠EAC=∠EAD,由于∠ABC=2∠EAC,則∠ABC=∠DAC,再利用圓周角定理得到∠ADB=90°,則∠DAC+∠ACB=90°,所以∠ABC+∠ACB=90°,于是根據(jù)切線的判定定理得到AB是⊙O的切線;
(2)作FH⊥AC于H,如圖,利用余弦定義,在Rt△ABD中可計(jì)算出AD=8,利用勾股定理求得AB=10,在Rt△ACB中可計(jì)算出AC=,根據(jù)勾股定理求得BC=,則,CD=BC-BD=,接著根據(jù)角平分線性質(zhì)得FD=FH,于是設(shè)CF=x,則DF=FH=-x,然后利用平行線得性質(zhì)由FH∥AC得到∠HFB=∠C,所以cos∠BFH=cosB=,再利用比例性質(zhì)可求出CF.
(1)證明:連接AD,
∵AC是⊙O的直徑,∴AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°,
∵E是的中點(diǎn),∴∠EAC=∠EAD,∴∠DAC=2∠EAC,
∵∠ABC=2∠EAC,∴∠ABC=∠DAC,∴∠ABC+∠C=90°,
∴∠BAC=90°,∴CA⊥AB,
∴AB是⊙O的切線;
(2)作FH⊥AC于H,如圖,
在Rt△ABD中,∵tanB=,BD=6,
∴AD=8,
∴AB==10,
在Rt△ACB中,∵tanB=,
∴AC=,
∴BC=,
∴CD=BC-BD=,
∵∠EAC=∠EAD,即AF平分∠CAD,
而FD⊥AD,F(xiàn)H⊥AB,
∴FD=FH,
設(shè)CF=x,則DF=FH=-x,
∵FH∥AC,
∴∠HFC=∠B,
在Rt△CFH中,∵tan∠CFH=tanB==,
∴,解得x=,
即CF的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在五張正面分別寫(xiě)有數(shù)字﹣2,﹣1,0,1,2的卡片,它們的背面完全相同,現(xiàn)將這五張卡片背面朝上洗勻.
(1)從中任意抽取一張卡片,則所抽卡片上數(shù)字的絕對(duì)值不大于1的概率是 ;
(2)先從中任意抽取一張卡片,以其正面數(shù)字作為a的值,然后再?gòu)氖S嗟目ㄆS機(jī)抽一張,以其正面的數(shù)字作為b的值,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法,求點(diǎn)Q(a,b)在第二象限的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題情境:
在平面直角坐標(biāo)系中有不重合的兩點(diǎn)和點(diǎn),小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),若,則軸,且線段的長(zhǎng)度為;若,則軸,且線段的長(zhǎng)度為;
(應(yīng)用):
(1)若點(diǎn)、,則軸,的長(zhǎng)度為__________.
(2)若點(diǎn),且軸,且,則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.
(拓展):
我們規(guī)定:平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn),之間的折線距離為;例如:圖1中,點(diǎn)與點(diǎn)之間的折線距離為.
解決下列問(wèn)題:
(1)如圖1,已知,若,則__________;
(2)如圖2,已知,,若,則__________.
(3)如圖3,已知的,點(diǎn)在軸上,且三角形的面積為3,則__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為的正方形組成的網(wǎng)格中,的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是,,關(guān)于軸對(duì)稱的圖形為.
畫(huà)出并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為________;
寫(xiě)出的面積為________;
點(diǎn)在軸上,使的值最小,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分8分)一個(gè)不透明的口袋中裝有2個(gè)紅球(記為紅球1、紅球2)、1個(gè)白球、1個(gè)黑球,這些球除顏色外都相同,將球搖勻.
(1)從中任意摸出1個(gè)球,恰好摸到紅球的概率是 ;
(2)先從中任意摸出1個(gè)球,再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中任意摸出1個(gè)球,請(qǐng)用列舉法(畫(huà)樹(shù)狀圖或列表)求兩次都摸到紅球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的電動(dòng)自行車共30輛,其中A型電動(dòng)自行車不少于20輛,A、B兩種型號(hào)電動(dòng)自行車的進(jìn)貨單價(jià)分別為2500元、3000元,售價(jià)分別為2800元、3500元,設(shè)該商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A型電動(dòng)自行車m輛,兩種型號(hào)的電動(dòng)自行車全部銷售后可獲利潤(rùn)y元.
(1)求出y與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該商店如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)?此時(shí)最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),矩形的頂點(diǎn)、,將矩形的一個(gè)角沿直線折疊,使得點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處,折痕與軸交于點(diǎn).
(1)線段的長(zhǎng)度為__________;
(2)求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(3)若點(diǎn)在線段上,在線段上是否存在點(diǎn),使四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′,下列結(jié)論:
①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到;&
②點(diǎn)O與O′的距離為4;
③∠AOB=150°;
④四邊形AOBO′的面積為6+3 ;
⑤S△AOC+S△AOB=6+.
其中正確的結(jié)論是_______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),點(diǎn)M,N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MD∥y軸,交直線BC于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸,垂足為點(diǎn)F,若四邊形MNFE為正方形(此處限定點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)),求該正方形的面積;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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