【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3過點A(-1,0),B(3,0),點M,N為拋物線上的動點,過點MMD∥y軸,交直線BC于點D,交x軸于點E.

(1)求拋物線的表達式;

(2)過點NNF⊥x軸,垂足為點F,若四邊形MNFE為正方形(此處限定點M在對稱軸的右側),求該正方形的面積;

(3)若∠DMN=90°,MD=MN,直接寫出點M的坐標.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)正方形的面積為24+824-8;(3)M的坐標為(,)或(2,3)或(-1,0)或(,).

【解析】

(1)根據(jù)點在拋物線圖像上,將點代入解析式,待定系數(shù)法解題,

(2)設點M坐標為(m,-m2+2m+3),分別表示出ME=|-m2+2m+3|,MN=2m-2,由四邊形MNFE為正方形得ME=MN,列方程,分類討論即可求解,

(3)先求出直線BC解析式,設點M的坐標為(a,-a2+2a+3),表示出點N和點D坐標,由MD=MN,列方程,分類討論即可求解.

(1)∵拋物線y=ax2+bx+3過點A(-1,0),B(3,0),

,

解得:

拋物線解析式為y=-x2+2x+3;

(2)由(1)知,拋物線的對稱軸為x=-=1,

如圖,設點M坐標為(m,-m2+2m+3),

∴ME=|-m2+2m+3|,

∵M、N關于x=1對稱,且點M在對稱軸右側,

N的橫坐標為2-m,

∴MN=2m-2,

四邊形MNFE為正方形,

∴ME=MN,

∴|-m2+2m+3|=2m-2,

分兩種情況:

①當-m2+2m+3=2m-2時,解得:m1=、m2=-(不符合題意,舍去),

m=時,正方形的面積為(2-2)2=24-8;

②當-m2+2m+3=2-2m時,解得:m3=2+,m4=2-(不符合題意,舍去),

m=2+時,正方形的面積為[2(2+)-2]2=24+8;

綜上所述,正方形的面積為24+824-8

(3)設BC所在直線解析式為y=kx+b,

把點B(3,0)、C(0,3)代入表達式,得:

,解得:

直線BC的函數(shù)表達式為y=-x+3,

設點M的坐標為(a,-a2+2a+3),則點N(2-a,-a2+2a+3),點D(a,-a+3),

①點M在對稱軸右側,即a>1,

|-a+3-(-a2+2a+3)|=a-(2-a),即|a2-3a|=2a-2,

a2-3a≥0,即a≤0a≥3,a2-3a=2a-2,

解得:a=a=<1(舍去);

a2-3a<0,即0<a<3,a2-3a=2-2a,

解得:a=-1(舍去)或a=2;

②點M在對稱軸左側,即a<1,

|-a+3-(-a2+2a+3)|=2-a-a,即|a2-3a|=2-2a,

a2-3a≥0,即a≤0a≥3,a2-3a=2-2a,

解得:a=-1a=2(舍);

a2-3a<0,即0<a<3,a2-3a=2a-2,

解得:a=(舍去)或a=;

綜上,點M的坐標為(,)或(2,3)或(-1,0)或(,).

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