【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,把矩形COAB繞點C順時針旋轉α角,得到矩形CFED.設FC與AB交于點H,且A(0,4),C(8,0).
(1)當α=60°時,△CBD的形狀是______;
(2)設AH=m
①連接HD,當△CHD的面積等于10時,求m的值;
②當0°<α<90°旋轉過程中,連接OH,當△OHC為等腰三角形時,請直接寫出m的值.
【答案】(1)等邊三角形(2)①m=5;②m的值是4或4或8-4
【解析】
(1)先根據旋轉的性質得∠BCD=60°,CB=CD,然后根據等邊三角形的判定方法得到△CBD為等邊三角形;
(2)①根據△CHD的面積等于10,可得CH=5,利用勾股定理計算BH的長,從而得m的值;
②分三種情況:
i)當OH=CH時,如圖2,
ii)當OH=OC=8時,如圖3,
iii)當OC=CH=8時,如圖4,此時F與H重合,
分別根據勾股定理計算可得結論.
解:(1)∵矩形COAB繞點C順時針旋轉60度的角,得到矩形CFED,
∴∠BCD=60°,CB=CD,
∴△CBD為等邊三角形;
故答案為:等邊三角形;
(2)①∵四邊形CFED是矩形,
∴∠DCH=90°,
∵△CHD的面積等于10,
∴CDCH=10,
∵CD=4,
∴,CH=5,
Rt△BCH中,由勾股定理得:BH===3,
∴AH=8-3=5,
即m=5;
②當△OHC為等腰三角形時,分三種情況:
i)當OH=CH時,如圖2,
∵OA=BC,
∴Rt△AOH≌Rt△BCH(HL),
∴AH=BH=4,
即m=4;
ii)當OH=OC=8時,如圖3,
∵OA=4,
由勾股定理得:AH===4,
即m=4;
iii)當OC=CH=8時,如圖4,此時F與H重合,
則BH=4,
∴m=8-4,
綜上,m的值是4或4或8-4.
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【題目】已知點E為正方形ABCD的邊AD上一點,連接BE,過點C作CN⊥BE,垂足為M,交AB于點N.
(1)求證:△ABE≌△BCN;
(2)若N為AB的中點,求tan∠ABE.
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【題目】定義:P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點,線段PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四點.
(1)根據上述定義,當m=2,n=3時,如圖1,線段BC與線段OA的距離是 ,當m=5,n=3時,如圖2,線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長)為 .
(2)如圖3,若點B落在圓心為A,半徑為2的圓上,線段BC與線段OA的距離記為d,求d關于m的函數解析式.
(3)當m的值變化時,動線段BC與線段OA的距離始終為2,線段BC的中點為M.點D的坐標為(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x軸,垂足為H,是否存在m的值,使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=∠ABE=60°,G為對角線BD(不含B點)上任意一點,將△ABG繞點B逆時針旋轉60°得到△EBF,當AG+BG+CG取最小值時EF的長( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在邊長為1的正方形組成的網格中,△AOB的頂點均在格點上,點A、B的坐標分別是A(3,2)、B(1,3).△AOB繞點O逆時針旋轉90°后得到△A1OB1.(直接填寫答案)
(1)點A關于點O中心對稱的點的坐標為 ;
(2)點A1的坐標為 ;
(3)在旋轉過程中,點B經過的路徑為弧BB1,那么弧BB1的長為 .
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【題目】2018年3月30日初2018級同學以優(yōu)異的成績在雙福育才中學完成了中招體育測試,初2019級為了準備明年的體考,對1、2、3、4班進行了體考模擬測試,并對三個班的滿分進行了統(tǒng)計,繪制了如圖1和如圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖,根據圖中提供的信息完成以下問題.
(1)扇形統(tǒng)計圖中2班體育成績滿分人數對應的圓心角是 度;并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)經過體育老師推薦,這些滿分同學中有4名同學(1女3男)的跳遠動作十分標準,12班班主任準備從這4名同學中任選2名給自己班級的同學示范標準動作,請利用畫樹狀圖或列表的方法求出選出2名同學恰好是一男一女的概率.
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【題目】為了解某校中學生對《最強大腦》、《朗讀者》、《中國詩詞大會》、《出彩中國人》四個電視節(jié)目的喜愛情況,隨機抽取了x名學生進行調查統(tǒng)計(要求每名學生選出并且只能選出一個自己最喜愛的節(jié)目),并將調查結果繪制成如圖統(tǒng)計圖表:根據以上提供的信息,解答下列問題:
節(jié)目 | 人數(名) | 百分比 |
最強大腦 | 5 | 10% |
朗讀者 | 15 | b% |
中國詩詞大會 | a | 40% |
出彩中國人 | 10 | 20% |
(1)x= ,a= ,b= ;
(2)補全上面的條形統(tǒng)計圖;
(3)在喜愛《最強大腦》的學生中,有2名女同學,其余為男同學,現要從中隨機抽取2名同學代表學校參加濰坊市組織的競賽活動,請用樹狀圖或列表法求出所抽取的2名同學恰好是1名男同學和1名女同學的概率.
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【題目】如圖,點A.B.C分別是⊙O上的點,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直徑,P是CD延長線上的一點,且AP=AC.
(1)求證:AP是⊙O的切線;
(2)求PD的長.
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【題目】已知反比例函數的圖象過點A(3,2).
(1)試求該反比例函數的表達式;
(2)M(m,n)是反比例函數圖象上的一動點,其中0<m<3,過點M作直線MB∥x軸,交y軸于點B;過點A作直線AC∥y軸,交x軸于點C,交直線MB于點D.當四邊形OADM的面積為6時,請判斷線段BM與DM的大小關系,并說明理由.
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