Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，H為BE上的一點(diǎn)， ＝3，連接CH并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，連接GE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證： ；

(2)若∠CGF＝90°，求的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ＝3.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△CEH∽△GBH，即可推得結(jié)論；

（2）作EM⊥AB于M，則EM=BC=AD，AM=DE，設(shè)DE=CE=3a，則AB=CD=6a，由（1）得： =3，得出BG=CE=a，AG=5a，證明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性質(zhì)得出EGEF=DEEC，由平行線證出=，得出EF=EG，求出EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=a，即可得出結(jié)果．

試題解析：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴ ．

（2）作EM⊥AB于M，如圖所示：

則EM=BC=AD，AM=DE，∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，設(shè)DE=CE=3a，則AB=CD=6a，由（1）得： =3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EGEF=DEEC，∵CD∥AB，∴=，∴=，∴EF=EG，∴EGEG=3a3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==．