Question

【題目】如圖，矩形ABCD的邊BC與x軸重合，連接對角線BD交y軸于點E，過點A作AG⊥BD于點G，直線GF交AD于點F，AB、OC的長分別是一元二次方程x-5x+6=0的兩根（AB＞OC），且tan∠ADB=.

（1）求點E、點G的坐標；

（2）直線GF分△AGD為△AGF與△DGF兩個三角形，且S△AGF：S△DGF =3:1，求直線GF的解析式；

（3）點P在y軸上，在坐標平面內是否存在一點Q，使以點B、D、P、Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）E（0， ），G（， ）；（2）；（3）存在Q1（-4， ）；Q2（4， ）；Q3（0,4）；Q4（0，-1）.

【解析】（1）根據一元二次方程x-5x+6=0的解、tan∠ADB=，可求出點E的坐標；由△BGH∽△BDC，利用相似三角形的性質可求出點G的坐標；

（2）根據G、F的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線GF的解析式；

（3）對BD是矩形的邊還是矩形的對角線進行分類討論即可.

解：（1）x-5x+6=0，解得x1=2；x2=3

∵AB＞OC，

∴AB=3；OC=2

∵tan∠ADB=，

∴AD=BC=4；BD=5

∴OE=，∴E（0， ）

∵AG⊥BD，則△ABG∽△ABD，

，即，BG=，

做GH⊥x軸，由△BGH∽△BDC，

∴G（， ）

（2）∵S△AGF：S△DGF =3:1，

∴AF：DF=3:1，

∴DF=1 F（1,3）

設直線GF： ，

代入G（， ），F（1,3）

∴直線GF的解析式為：

（3）存在Q1（-4， ）；Q2（4， ）；Q3（0,4）；Q4（0，-1）