Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，正三角形BCE所在平面與菱形ABCD所在的平面垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且 ．
（1）判斷直線EF平面ABCD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線EF與平面ABCD平行，理由如下：

如圖，過點E作EH⊥BC于點H，連接HD，因為在正三角形BCE中，BC=4，所以 ，

因為平面ABCD⊥平面BCE，EH平面ABCD，

故平面EF∥平面ABCD

（2）解：如圖，連接AC，HA，由（1）可得H為BC的中點，

又∠CBA=60°，故△ABC為等邊三角形，

所以HA⊥BC．

又EH⊥平面ABCD，故HB，HA，HE兩兩垂直，以H為坐標(biāo)原點，

HB，HA，HE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則 ，

所以 ，

設(shè)平面BEF的法向量為 ，

則 ，即 ，

取z1=1，則 是平面BEF的一個法向量，

設(shè)平面ABF的法向量為 ，

則 ，即 ，

取y2=1，得 是平面ABF的一個法向量．

所以 ，

由圖可知二面角A﹣FB﹣E為鈍角，故二面角A﹣FB﹣E的余弦值是 ．

【解析】（1）過點E作EH⊥BC于點H，連接HD，推導(dǎo)出平面ABCD⊥平面BCE，從而平面EF∥平面ABCD．（2）連接AC，HA，推導(dǎo)出HA⊥BC，以H為坐標(biāo)原點，HB，HA，HE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣FB﹣E的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點才能正確解答此題．