Question

【題目】如圖（1）所示，已知四邊形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且點A為線段SD的中點，AD=2DC=1，AB=SD，現(xiàn)將△SAB沿AB進行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小為90°，得到的圖形如圖（2）所示，連接SC，點E、F分別在線段SB、SC上．
（1）證明：BD⊥AF；
（2）若三棱錐B﹣AEC的體積是四棱錐S﹣ABCD體積的 ，求點E到平面ABCD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，

二面角S﹣AB﹣C的大小為90°，

∴SA⊥AD，

又SA⊥AB，AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，

又BD平面ABCD，∴SA⊥BD，

在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

AD=2CD=1，AB=2，

∴tan∠ABD=tan∠CAD= ，

又∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD，

又AC∩SA=A，∴BD⊥平面SAC，

∵AF平面SAC，∴BD⊥AF．

（2）解：設點E到平面ABCD的距離為h，

∵VB﹣AEC=VE﹣ABC，且 = ，

∴ = = = ，

解得h= ，

∴點E到平面ABCD的距離為 ．

【解析】（1）推導出SA⊥AD，SA⊥AB，從而SA⊥平面ABCD，進而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，從而能證明BD⊥AF．（2）設點E到平面ABCD的距離為h，由VB﹣AEC=VE﹣ABC ， 且 = ，能求出點E到平面ABCD的距離．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．