【題目】如果一個正整數(shù)能寫成的形式(其中a,b均為自然數(shù)),則稱之為婆羅摩笈多數(shù),比如7和31均是婆羅摩笈多數(shù),因為7=22+3×12,31=22+3×32。
(1)請證明:28和217都是婆羅摩笈多數(shù)。
(2)請證明:任何兩個婆羅摩笈多數(shù)的乘積依舊是婆羅摩笈多數(shù)。
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)一個正整數(shù)能寫成a2+3b2的形式,則稱之為婆羅摩笈多數(shù),將28和217都寫成a2+3b2的形式即可證明;
(2)設(shè)一個婆羅摩笈多數(shù)為x=a2+3b2,另一個婆羅摩笈多數(shù)為y=c2+3d2,所以xy=(a2+3b2)(c2+3d2),然后根據(jù)乘法公式化簡,最后分解因式即可.
證明:(1)∵28=12+3×32=28,
217=132+3×42=217,
∴28和217都是婆羅摩笈多數(shù).
(2)設(shè)一個婆羅摩笈多數(shù)為x=a2+3b2,另一個婆羅摩笈多數(shù)為y=c2+3d2,
xy=(a2+3b2)(c2+3d2)
=a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2
=(ac)2+(3bd)2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2
=(ac+3bd)2+3(ad﹣bc)2
因此,任何兩個婆羅摩笈多數(shù)的乘積依舊是婆羅摩笈多數(shù).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 四邊形OABC為直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4). 點從 出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向運動;點從同時出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向運動.其中一個動點到達(dá)終點時,另一個動點也隨之停止運動.過點作垂直軸于點,連結(jié)AC交NP于Q,連結(jié)MQ.
【1】點 (填M或N)能到達(dá)終點;
【1】求△AQM的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍,當(dāng)t為何值時,S的值最大;
【1】是否存在點M,使得△AQM為直角三角形?若存在,求出點M的坐標(biāo),若不存在,
說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曲阜限制“三小車輛”出行后,為方便市民出行,準(zhǔn)備為、、、四個村建一個公交車站.
(1)請問:公交站建在何處才能使它到4個村的距離之和最小,請在圖一中找出點;
(2)請問:公交站建在何處才能使它到道路、、的距離相等,請在圖二中找出點并加以說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)閱讀理解:
如圖①,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>△ACD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.中線AD的取值范圍是___________;
(2)問題解決: 如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:BE+CF>EF;
(3)問題拓展:如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,以C為頂點作∠ECF,使得角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點,連接EF,且EF=BE+DF,試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,破殘的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線交弧AB于點C,交弦AB于點D.已知AB=24cm,CD=8cm.
(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)求殘片所在圓的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,環(huán)境問題越來越受到人們的關(guān)注.某校學(xué)生會為了了解垃圾分類知識的普及情況,隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類,并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅統(tǒng)計圖.
(1)求:本次被調(diào)查的學(xué)生有多少名?補全條形統(tǒng)計圖.
(2)估計該校1200名學(xué)生中“非常了解”與“了解”的人數(shù)和是多少.
(3)被調(diào)查的“非常了解”的學(xué)生中有2名男生,其余為女生,從中隨機(jī)抽取2人在全校做垃圾分類知識交流,請利用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形的邊長為1,點是邊上的一個動點(與,不重合),以為頂點在所在直線的上方作
(1)當(dāng)經(jīng)過點時,
①請直接填空:________(可能,不可能)過點:(圖1僅供分析)
②如圖2,在上截取,過點作垂直于直線,垂足為點,作于,求證:四邊形為正方形;
③如圖2,將②中的已知與結(jié)論互換,即在上取點(點在正方形外部),過點作垂直于直線,垂足為點,作于,若四邊形為正方形,那么與是否相等?請說明理由;
(2)當(dāng)點在射線上且不過點時,設(shè)交邊于,且.在上存在點,過點作垂直于直線,垂足為點,使得,連接,則當(dāng)為何值時,四邊形的面積最大?最大面積為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一列數(shù):1,-2,3,-4,5,-6,7…將這列數(shù)排成下列形式:
第1行 1
第2行。2 3
第3行 -4 5。6
第4行 7。8 9。10
第5行 11。12 13。14 15
……
按照上述規(guī)律排列下去,則第50行的最后一個數(shù)是___________,2019這個數(shù)在第___行,從左往右是第_____個數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某貨運公司接到噸物資運載任務(wù),現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型的汽車供選擇,每輛車的運載能力和運費如表:
車型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽車運載量(噸/輛) | 5 | 8 | 10 |
汽車運費(元/輛) | 400 | 500 | 600 |
(1)甲種車型的汽車輛,乙種車型的汽車輛,丙種車型的汽車輛,它們一次性能運載 噸貨物.
(2)若全部物資都用甲、乙兩種車型的汽車來運送,需運費元,求需要甲、乙兩種車型的汽車各多少輛?
(3)為了節(jié)省運費,該公司打算用甲、乙、丙三種車型的汽車共輛同時參與運送,請你幫貨運公司設(shè)計派車方案;并求出各種派車方案的運費.
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