【題目】1)閱讀理解:

如圖①,在ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問(wèn)題可以用如下方法:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD),把AB,AC2AD集中在ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.中線AD的取值范圍是___________;

(2)問(wèn)題解決: 如圖②,在ABC,DBC邊上的中點(diǎn),DEDF于點(diǎn)D,DEAB于點(diǎn)E,DFAC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CFEF;

(3)問(wèn)題拓展:如圖③,在四邊形ABCD,B+D=180°,CB=CD,C為頂點(diǎn)作∠ECF,使得角的兩邊分別交AB,ADEF兩點(diǎn),連接EF,EF=BE+DF,試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

【答案】11AD4;(2)證明見(jiàn)解析;(3)∠A+2ECF=180°,理由見(jiàn)解析.

【解析】

1)延長(zhǎng)ADE,使DE=AD,連接BE,證△ADC≌△EDB,推出EB=AC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可;

2)先利用ASA判定△BGD≌△CFD,從而得出BG=CF;再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD,再有DEGF,從而得出EG=EF,兩邊和大于第三邊從而得出BE+CFEF;

3)延長(zhǎng)EBG,使BG=DF,連接CG,通過(guò)SAS證明△CDF△CBG,得到CG=CF,∠BCG=DCF,再證明△CEF△CEG,得到∠ECF=EDG,由∠A+∠BCD=180°,通過(guò)等量代換即可得到∠A+2∠ECF=180°.

1)延長(zhǎng)ADE,使AD=DE,連接BE

AD是△ABC的中線,

BD=CD

在△ADC與△EDB中,

∴△ADC≌△EDBSAS),

EB=AC

AB=5,AC=3

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得:AB-ACAEAC+AB,

2AE8,

AE=2AD

1AD4,

即:BC邊上的中線AD的取值范圍1AD4

故答案為:1AD4;

2)過(guò)點(diǎn)BBGACFD的延長(zhǎng)線于G,連接EG,

∴∠DBG=DCF

DBC的中點(diǎn),

BD=CD,

又∵∠BDG=CDF

∴△BGD≌△CFDASA).

GD=FD,BG=CF

又∵DEDF,

EG=EF(垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等).

∴在△EBG中,BE+BGEG,

BE+CFEF

3∠A+2∠ECF=180°,理由如下:

延長(zhǎng)EBG,使BG=DF,連接CG

∠D+ABC=180°,∠ABC+∠CBG=180°

∴∠D=∠CBG,

又∵CD=CBDF=BG,

∴△CDF△CBG,

CF=CG,∠DCF=∠BCG

∵EF=DF+BE,EG=BE+BGDF=BG,

EF=EG

∵EC=EC,

△CEF≌△CEG

∴∠ECF=∠ECG,

∵∠BCD=∠DCF+∠BCF

∴∠BCD=∠BCF+∠BCG=∠FCG=∠ECF+∠ECG=2∠ECF,

∵∠D+∠A+∠ABC+∠BCD=360°,∠D+∠ABC=180°,

∴∠A+∠BCD=180°,

∠A+2∠ECF=180°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線y=(x﹣1)2+k的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B.

(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo);

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P使S△PAC=S△ABC?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ABQ是等腰三角形,若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,兩個(gè)30°的角BAC與角MON,頂點(diǎn)A在射線ON上某處,現(xiàn)保持角MON不動(dòng),將角BAC繞點(diǎn)A以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),邊ABAC分別與邊OM交于點(diǎn)P、Q,當(dāng)ACOM時(shí),交點(diǎn)Q消失旋轉(zhuǎn)結(jié)束。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0.

1)當(dāng)t=2秒時(shí),OP:PQ=

2)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,APQ能否成為等腰三角形?若能,請(qǐng)利用備用圖,直接寫(xiě)出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間;

3)在(2)中判斷OAQ的形狀,并選擇其中的一個(gè)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上,AB=4,∠CBA=30°,點(diǎn)D在AO上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng):DF⊥DE于點(diǎn)D,并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,下列結(jié)論:

①CE=CF;

②線段EF的最小值為;

③當(dāng)AD=1時(shí),EF與半圓相切;

④當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí),線段EF掃過(guò)的面積是4

其中正確的序號(hào)是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn),與軸分別交于兩點(diǎn).

1)求直線和該拋物線的解析式;

2)如圖1,點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線的上方,過(guò)點(diǎn)軸的平行線與直線交于點(diǎn),求的最大值;

3)如圖2軸交軸于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線分別交于、,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),求的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】將兩個(gè)全等的△ABC和△DBE按圖1方式擺放,其中∠ACB=∠DEB90°,∠A=∠D30°,點(diǎn)E落在AB上,DE所在直線交AC所在直線于F

1)求證:AFEFDE;

2)若將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α,且60°<α<180°,其他條件不變,如圖2,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段AF,EFDE之間的數(shù)量關(guān)系。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如果一個(gè)正整數(shù)能寫(xiě)成的形式(其中a,b均為自然數(shù)),則稱(chēng)之為婆羅摩笈多數(shù),比如731均是婆羅摩笈多數(shù),因?yàn)?/span>7223×12,31223×32

1)請(qǐng)證明:28217都是婆羅摩笈多數(shù)。

2)請(qǐng)證明:任何兩個(gè)婆羅摩笈多數(shù)的乘積依舊是婆羅摩笈多數(shù)。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知A1,A2,A3,…,An是x軸上的點(diǎn),且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An-1An=1,分別過(guò)點(diǎn)A1,A2,A3,…,An作x軸的垂線交二次函數(shù)y=x2(x>0)的圖象于點(diǎn)P1,P2,P3,…,Pn.若記△OA1P1的面積為S1,過(guò)點(diǎn)P1作P1B1⊥A2P2于點(diǎn)B1,記△P1B1P2的面積為S2,過(guò)點(diǎn)P2作P2B2⊥A3P3于點(diǎn)B2,記△P2B2P3的面積為S3……依次進(jìn)行下去,最后記△Pn-1Bn-1Pn(n>1)的面積為Sn,則Sn=(  )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題,“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)鋸幾何?”用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是:“如圖,CD為O的直徑,弦ABCD垂足為E,CE=1寸,AB=10寸,求直徑CD的長(zhǎng)”,依題意,CD長(zhǎng)為(

A.12寸 B.13寸 C.24寸 D.26寸

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案