【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上,AB=4,∠CBA=30°,點(diǎn)D在AO上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng):DF⊥DE于點(diǎn)D,并交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,下列結(jié)論:
①CE=CF;
②線(xiàn)段EF的最小值為;
③當(dāng)AD=1時(shí),EF與半圓相切;
④當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí),線(xiàn)段EF掃過(guò)的面積是4.
其中正確的序號(hào)是 .
【答案】①③.
【解析】
試題分析:
①連接CD,如圖1所示.
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng),
∴CE=CD.
∴∠E=∠CDE.
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°.
∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.
∴∠F=∠CDF.
∴CD=CF,
∴CE=CD=CF.故①正確.
②當(dāng)CD⊥AB時(shí),如圖所示.
∵AB是半圓的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵AB=4,∠CBA=30°,
∴∠CAB=60°,AC=2,BC=2.
∵CD⊥AB,∠CBA=30°,
∴CD=BC=.
根據(jù)“點(diǎn)到直線(xiàn)之間,垂線(xiàn)段最短”可得:
點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),CD的最小值為.
∵CE=CD=CF,
∴EF=2CD.
∴線(xiàn)段EF的最小值為2.故②錯(cuò)誤.
③當(dāng)AD=1時(shí),連接OC,如圖所示.
∵OA=OC,∠CAB=60°,
∴△OAC是等邊三角形.
∴CA=CO,∠ACO=60°.
∵AO=2,AD=1,
∴DO=1.
∴AD=DO,
∴∠ACD=∠OCD=30°,
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng),
∴∠ECA=∠DCA,
∴∠ECA=30°,
∴∠ECO=90°,
∴OC⊥EF,
∵EF經(jīng)過(guò)半徑OC的外端,且OC⊥EF,
∴EF與半圓相切.故③正確.
④∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱(chēng),
點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng),
∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí),
點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AO關(guān)于AC對(duì)稱(chēng),
點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NG與AO關(guān)于BC對(duì)稱(chēng).
∴EF掃過(guò)的圖形就是圖中陰影部分.
∴S陰影=2S△AOC=2×ACBC=2.故④錯(cuò)誤.
故答案為①③.
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