【題目】請(qǐng)完成下列題目:
(1)如圖①所示,P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),連接PA、PB、PC,將△BAP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BCQ,連接PQ.若PA2+PB2=PC2,證明∠PQC=90°.

(2)

如圖②所示,P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)內(nèi)的一點(diǎn),連接PA、PB、PC,將△BAP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BCQ,連接PQ.當(dāng)PA、PB、PC滿足什么條件時(shí),∠PQC=90°?請(qǐng)說(shuō)明

【答案】
(1)

證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知:BP=BQ、PA=QC,∠ABP=∠CBQ;

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=60°,即∠CBP+∠ABP=60°;

∵∠ABP=∠CBQ,

∴∠CBP+∠CBQ=60°,即∠PBQ=60°;

又∵BP=BQ,∴△BPQ是等邊三角形;

∴BP=PQ;

∵PA2+PB2=PC2,即PQ2+QC2=PC2;

∴△PQC是直角三角形,且∠PQC=90°


(2)

PA2+2PB2=PC2;理由如下:

同(1)可得:PBQ是等腰直角三角形,PQ= PB,即PQ2=2PB2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知:PA=QC;

PQC中,若PQC=90°,PQ2+QC2=PC2,即PA2+2PB2=PC2

故當(dāng)PA2+2PB2=PC2時(shí),PQC=90°.


【解析】①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到的條件是:①BP=BQ、PA=QC,②∠ABP=∠CBQ;
由②可證得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°,聯(lián)立BP=BQ,即可得到△BPQ是等邊三角形的結(jié)論,則BP=PQ;將等量線段代換后,即可得出PQ2+QC2=PC2,由此可證得∠PQC=90°;
②由(1)的解題思路知:△PBQ是等腰Rt△,則PQ2=2PB2,其余過(guò)程同(1),只不過(guò)所得結(jié)論稍有不同.此題考查了等邊三角形、等腰直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形的判定及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí),能夠正確的判斷出△BPQ的形狀,從而得到BP、PQ的數(shù)量關(guān)系,是解答此題的關(guān)鍵
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理,需要了解等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°;如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系:a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形才能得出正確答案.

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