【題目】已知ABCD,點M、N分別是AB、CD上兩點,點GAB、CD之間,連接MG、NG

1)如圖1,若GMGN,求∠AMG+∠CNG的度數(shù);

2)如圖2,若點PCD下方一點,MG平分∠BMPND平分∠GNP,已知∠BMG30°,求∠MGN+∠MPN的度數(shù);

3)如圖3,若點EAB上方一點,連接EM、EN,且GM的延長線MF平分∠AMENE平分∠CNG,2MEN+∠MGN105°,求∠AME的度數(shù).

【答案】1)∠AMG+∠CNG90°;(2)∠MGN+∠MPN90°;(3)∠AME50°.

【解析】

1)過GGHAB,依據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可得到∠AMG+CNG的度數(shù);

2)過GGKAB,過點PPQAB,設(shè)∠GND=α,利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,求得∠MGN=30°+α,∠MPN=60°-α,即可得到∠MGN+MPN=30°+α+60°-α=90°

3)過GGKAB,過EETAB,設(shè)∠AMF=x,∠GND=y,利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,可得∠MEN=TEN-TEM=90°-y-2x,∠MGN=x+y,再根據(jù)2MEN+MGN=105°,即可得到290°-y-2x+x+y=105°,求得x=25°,即可得出∠AME=2x=50°

1)如圖1,過GGHAB,

ABCD

GHABCD,

∴∠AMG=∠HGM,∠CNG=∠HGN,

MGNG,

∴∠MGN=∠MGH+NGH=∠AMG+CNG90°

2)如圖2,過GGKAB,過點PPQAB,設(shè)∠GNDα,

GKAB,ABCD,

GKCD,

∴∠KGN=∠GNDα,

GKAB,∠BMG30°,

∴∠MGK=∠BMG30°

MG平分∠BMP,ND平分∠GNP

∴∠GMP=∠BMG30°,

∴∠BMP60°

PQAB,

∴∠MPQ=∠BMP60°

ND平分∠GNP,

∴∠DNP=∠GNDα

ABCD,

PQCD,

∴∠QPN=∠DNPα

∴∠MGN30°+α,∠MPN60°α

∴∠MGN+MPN30°+α+60°α90°;

3)如圖3,過GGKAB,過EETAB,設(shè)∠AMFx,∠GNDy

AB,FG交于MMF平分∠AME,

∴∠FME=∠FMA=∠BMGx,

∴∠AME2x

GKAB,

∴∠MGK=∠BMGx

ETAB,

∴∠TEM=∠EMA2x

CDABKG,

GKCD,

∴∠KGN=∠GNDy,

∴∠MGNx+y,

∵∠CND180°,NE平分∠CNG

∴∠CNG180°y,∠CNECNG90°y,

ETABCD,

ETCD,

∴∠TEN=∠CNE90°y

∴∠MEN=∠TEN﹣∠TEM90°y2x,∠MGNx+y

2MEN+MGN105°,

290°y2x+x+y105°

x25°,

∴∠AME2x50°

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