Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD ， AD=BC ， 點E在邊AD上，BE與AC相交于點O ， 且∠ABE=∠BCA ．

（1）求證：△BAE∽△BOA.
（2）求證：BOBE=BCAE.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=BC，

∴∠EAB=∠CBA

∵∠EBA=∠BCA，

∴△EBA∽△ACB

∴∠AEB=∠BAC

∵∠ABE=∠OBA

∴△BAE∽△BOA

（2）

答案：解答：∵△BAE∽△BOA，

∴＝

∵∠BAC=∠OAB，

∠EBA=∠BCA

∴△OAB∽△BAC

∴＝

∴＝

∴BEBO=AEBC

【解析】（1）利用梯形的性質(zhì)得到∠EAB=∠CBA ， 從而證得△EBA∽△ACB ， 然后利用相似三角形的性質(zhì)得到∠AEB=∠BAC ， 從而證明△BAE∽△BOA；（2）根據(jù)上題證得的△BAE∽△BOA得到 ＝ ， 然后再利用∠BAC=∠OAB、∠EBA=∠BCA證得△OAB∽△BAC ， 從而得到 ＝ ， 再根據(jù) ＝
得到BEBO=AEBC即可．
【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．