【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)D作DF⊥DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:BF=CE;
(2)若CE=AC,用等式表示線段DF與AB的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)詳見解析;(2)DFAB.
【解析】
(1)連接DC,由等腰直角△ABC的中線得CD=BD;等腰直角△ABC頂角平分線和底角,∠ABC與∠ABF互為鄰補(bǔ)角,由∠BCE=90°,∠DCB=45°,計(jì)算出∠DBF=∠DCB=135°;∠CHE+∠E=90°;∠CHE=∠DHF等量代換得∠F=∠E,從而證明△DBF≌△DCE,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求BF=CE.
(2)連接BE,在△DCE中,點(diǎn)D和C分別是AB和AE的中點(diǎn),得到DC∥BE,在(1)基礎(chǔ)上易證∠ABE=90°,AB=BE.計(jì)算出線段DE的長(zhǎng)度與線段AB的關(guān)系,即求出線段DF與線段AB的關(guān)系.
(1)連接CD,DE與CF相交于點(diǎn)H,如圖1所示:
∵在Rt△ABC中,D為AB中點(diǎn),
∴CD=BD,
又∵AC=BC,
∴DC⊥AB,
∴∠ABC=∠DCB=45°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE=90°,
∵∠ABC+∠ABF=180°,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠DBF=180°﹣45°=135°,∠DCB=90°+45°=135°,
∴∠DBF=∠DCB,
∵DF⊥DE,
∴∠DHF+∠F=90°,
又∵∠CHE+∠E=90°;∠CHE=∠DHF,
∴∠F=∠E,
在△DBF和△DCE中
,
∴△DBF≌△DCE(AAS),
∴BF=CE.
(2)線段DF與AB的數(shù)量關(guān)系:DFAB.
連接BE,設(shè)AD=BD=a,則AB=2a.如圖2所示
∵△DBF≌△DCE,
∴DF=DE.
∵CE=AC,DA=DB,
∴DC∥BE,
又∵∠ADC=90°,
∴∠ABE=90°,
∵∠A=45°,
∴∠AEB=45°,
∴AB=BE=2a,
在Rt△BDE中,由勾股定理得:
DE2=DB2+BE2,
∴DE,
∴DFa,
∴.
即DFAB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年購(gòu)物的支付方式日益增多,某數(shù)學(xué)興趣小組就此進(jìn)行了抽樣調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示,支付方式有:A微信、B支付寶、C現(xiàn)金、D其他,該小組對(duì)某超市一天內(nèi)購(gòu)買者的支付方式進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次一共調(diào)查了多少名購(gòu)買者?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A種支付方式所對(duì)應(yīng)的圓心角為 度.
(3)若該超市這一周內(nèi)有1600名購(gòu)買者,請(qǐng)你估計(jì)使用A和B兩種支付方式的購(gòu)買者共有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),將△ABC沿著直線EF折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,折痕交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,那么sin∠BED的值為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某經(jīng)銷商經(jīng)銷的冰箱二月份的售價(jià)比一月份每臺(tái)降價(jià)500元,已知賣出相同數(shù)量的冰箱一月份的銷售額為9萬元,二月份的銷售額只有8萬元.
(1)二月份冰箱每臺(tái)售價(jià)為多少元?
(2)為了提高利潤(rùn),該經(jīng)銷商計(jì)劃三月份再購(gòu)進(jìn)洗衣機(jī)進(jìn)行銷售,已知洗衣機(jī)每臺(tái)進(jìn)價(jià)為4000元,冰箱每臺(tái)進(jìn)價(jià)為3500元,預(yù)計(jì)用不多于7.6萬元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種家電共20臺(tái),設(shè)冰箱為y臺(tái)(y≤12),請(qǐng)問有幾種進(jìn)貨方案?
(3)三月份為了促銷,該經(jīng)銷商決定在二月份售價(jià)的基礎(chǔ)上,每售出一臺(tái)冰箱再返還顧客現(xiàn)金a元,而洗衣機(jī)按每臺(tái)4400元銷售,這種情況下,若(2)中各方案獲得的利潤(rùn)相同,則a應(yīng)取何值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,且AB=2CD,E是AB的中點(diǎn),F是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),EF與BD相交于點(diǎn)M.
(1)求證:△EDM∽△FBM;
(2)若F是BC的中點(diǎn),BD=12,求BM的長(zhǎng);
(3)若AD=BC,BD平分∠ABC,點(diǎn)P是線段BD上的動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P使DPBP=BFCD,若存在,求出∠CPF的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,在矩形 ABCD 中,AB=8,AD=10,E 是 CD 邊上一點(diǎn),連接 AE,將矩形 ABCD 沿 AE 折疊,頂點(diǎn) D 恰好落在 BC 邊上點(diǎn) F 處,延長(zhǎng) AE 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
(1)求線段 CE 的長(zhǎng);
(2)如圖 2,M,N 分別是線段 AG,DG 上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合),且∠DMN=∠DAM, 設(shè) DN=x.
①求證四邊形 AFGD 為菱形;
②是否存在這樣的點(diǎn) N,使△DMN 是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出 x 的值;若不存在, 請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點(diǎn)B,C,∠F=30°.
(1)求證:BE=CE
(2)將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N.(如圖2)
①求證:△BEM≌△CEN;
②若AB=2,求△BMN面積的最大值;
③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí),點(diǎn)B恰好在FG上(如圖3),求sin∠EBG的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線經(jīng)過A,B,C三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式。
(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)F、P、G分別為DE、DC、BC的中點(diǎn).
(1)觀察猜想:圖1中,線段PF與PG的數(shù)量關(guān)系是 ,∠FPG= (用含α的代數(shù)式表示)
(2)探究證明:當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí),小新猜想(1)中的結(jié)論仍然成立,請(qǐng)你證明小新的猜想.
(3)拓展延伸:把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=2,AB=6,請(qǐng)直接寫出PF的最大值.
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