【題目】拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A10)和點B50).

1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式;

2)該拋物線與直線相交于C、D兩點,點P是拋物線上的動點且位于x軸下方,直線PM∥y軸,分別與x軸和直線CD交于點M、N

連結(jié)PCPD,如圖1,在點P運動過程中,△PCD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,說明理由;

連結(jié)PB,過點CCQ⊥PM,垂足為點Q,如圖2,是否存在點P,使得△CNQ△PBM相似?若存在,求出滿足條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1;(2;存在,(2,)或(.

【解析】

試題(1)由A、B兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

2可設出P點坐標,則可表示出M、N的坐標,聯(lián)立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標,過CDPN的垂線,可用t表示出△PCD的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;

△CNQ△PBM相似時有兩種情況,利用P點坐標,可分別表示出線段的長,可得到關(guān)于P點坐標的方程,可求得P點坐標.

試題解析:(1拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A10)和點B5,0),

,解得

該拋物線對應的函數(shù)解析式為;

2①∵P是拋物線上的動點且位于x軸下方,

可設Pt,)(1t5),

直線PM∥y軸,分別與x軸和直線CD交于點M、N,

∴Mt,0),Nt),

∴PN=.

聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得,解得

∴C0,3),D7,),

分別過C、D作直線PN的直線,垂足分別為EF,如圖1,

CE=t,DF=7﹣t,

∴SPCD=SPCN+SPDN=PN·CE+PNDF=PN=

t=時,△PCD的面積有最大值,最大值為;

存在.

∵∠CQN=∠PMB=90°,

△CNQ△PBM相似時,有兩種情況,

∵CQ⊥PM,垂足為Q,

∴Qt,3),且C0,3),Nt,),

∴CQ=tNQ=﹣3=,

,

∵Pt,),Mt,0),B5,0),

∴BM=5﹣t,PM=0﹣=,

時,則PM=BM,即,解得t=2t=5(舍去),此時P2,);

時,則BM=PM,即5﹣t=),解得t=t=5(舍去),此時P,);

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為P2,)或(,).

練習冊系列答案
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