Question

【題目】如圖1,正方形和正方形, 連接,當時， 與的關(guān)系是？

如圖2,將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，中結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給出證明:若不成立，請說明理由;

已知，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線平分,請畫出相應(yīng)的圖形，并寫出其中一種情形時長的思路．

Answer 1

【答案】（1）BG⊥CE，BG=CE；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由題干提供的已知條件直接得到答案，

（2）利用正方形的性質(zhì)證明△CAE≌△GAB，得到BG=CE，∠CEA=∠GBA，再利用三角形內(nèi)角和可得答案，

（3）當點O在EC上時，連接BE，CG，利用已證明的結(jié)論BG⊥CE，BG=CE，結(jié)合已知條件直線平分與正方形的性質(zhì)，利用勾股定理列方程組即可得到答案．

（1）BG⊥CE，BG=CE；

（2）（1）中結(jié)論仍然成立

證明：∵正方形ABDE和正方形ACFG，

∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，

∴∠EAC=∠BAG，

在△CAE和△BAG中，，

∴△CAE≌△GAB，

∴BG=CE，∠CEA=∠GBA，

又∠1=∠2

∴∠EAB=∠EOB=90°，

∴BG⊥CE；

（3）①當點O在EC上時，

方法一：如圖1，連接BE，CG，

設(shè)BO=GO=x，OC=y，則OE=2x-y，

利用勾股定理建立方程組，

求出x，得CE長．

（圖1）

方法二：如圖2，連接BE，CG，EG，作BH⊥AC于點H，

先求CG，得BC的長，再求S△ABC，

然后證明S△ABC=S△AEG，利用面積法建立方程：

，求得CE長；

②如圖3，當點O在EC延長線上時，

連接CG，作CM⊥AB于點M，GN⊥AB于點N，

由①知BC長，利用勾股定理建立方程組可求CM長

（或結(jié)合①BH長利用面積法求CM長），進而求AM長，

證△ACM≌△GAN，得AN，GN長，于是得到BN長，

再利用勾股定理求得BG長，得CE長．