Question

【題目】把一副三角板按如圖甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜邊AB＝6cm，DC＝7cm．把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1（如圖乙）．這時(shí)AB與CD1相交于點(diǎn)O、與D1E1相交于點(diǎn)F．

（1）求∠OFE1的度數(shù)；

（2）求線段AD1的長(zhǎng)；

（3）若把△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30°得△D2CE2，這時(shí)點(diǎn)B在△D2CE2的內(nèi)部、外部、還是邊上？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠OFE1＝120°；（2）AD1＝5；（3）點(diǎn)B在△D2CE2的內(nèi)部．理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠OCB＝45°，從而求出∠COB＝90°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AO＝CO＝AB，再求出OD1，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；

（3）設(shè)直線CB與D2E2相交于P，然后判斷出△CPE2是等腰直角三角形，再求出CP，然后與CB相比較即可得解．

（1）∵旋轉(zhuǎn)角為15°，

∴∠OCB＝60°﹣15°＝45°，

∴∠COB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∴CD1⊥AB，

在Rt△D1OF中，∠OFE1＝∠CD1E1+∠D1OF＝30°+90°＝120°；

（2）∵CD1⊥AB，

∴AO＝CO＝AB＝×6＝3，

∴OD1＝D1C﹣CO＝7﹣3＝4，

在Rt△AD1O中，由勾股定理得，AD1＝＝＝5；

（3）點(diǎn)B在△D2CE2的內(nèi)部．

理由：設(shè)直線CB與D2E2相交于P，

∵△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30°，

∴∠PCE2＝15°+30°＝45°，

∴△CPE2是等腰直角三角形，

∴CP＝CE2＝，

∵AB＝6，

∴CB＝AB＝3＜，即CB＜CP，

∴點(diǎn)B在△D2CE2的內(nèi)部．