Question

【題目】已知，如圖，A點坐標是(1，3)，B點坐標是(5，1)，C點坐標是(1，1)

(1)求△ABC的面積是____；

(2)求直線AB的表達式；

(3)一次函數y＝kx+2與線段AB有公共點，求k的取值范圍；

(4)y軸上有一點P且△ABP與△ABC面積相等，則P點坐標是_____．

Answer 1

【答案】(1)4；(2)y＝﹣x+；(3)0＜k≤1或﹣≤k＜0；(4)(0，)或(0，)．

【解析】

(1)根據A、B、C三點的坐標可得AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，再利用三角形面積公式列式計算即可；

(2)設直線AB的表達式為y＝kx+b．將A(1，3)，B(5，1)代入，利用待定系數法即可求解；

(3)由于y＝kx+2是一次函數，所以k≠0，分兩種情況進行討論：①當k＞0時，求出y＝kx+2過A(1，3)時的k值；②當k＜0時，求出y＝kx+2過B(5，1)時的k值，進而求解即可；

(4)過C點作AB的平行線，交y軸于點P，根據兩平行線間的距離相等，可知△ABP與△ABC是同底等高的兩個三角形，面積相等．根據直線平移k值不變可設直線CP的解析式為y＝﹣x+n，將C點坐標代入，求出直線CP的解析式，得到P點坐標；再根據到一條直線距離相等的直線有兩條，可得另外一個P點坐標．

解：(1)∵A點坐標是(1，3)，B點坐標是(5，1)，C點坐標是(1，1)，

∴AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，

∴S△ABC＝ACBC＝×2×4＝4．

故答案為4；

(2)設直線AB的表達式為y＝kx+b．

∵A點坐標是(1，3)，B點坐標是(5，1)，

∴，解得，

∴直線AB的表達式為y＝﹣x+；

(3)當k＞0時，y＝kx+2過A(1，3)時，

3＝k+2，解得k＝1，

∴一次函數y＝kx+2與線段AB有公共點，則0＜k≤1；

當k＜0時，y＝kx+2過B(5，1)，

1＝5k+2，解得k＝﹣，

∴一次函數y＝kx+2與線段AB有公共點，則﹣≤k＜0．

綜上，滿足條件的k的取值范圍是0＜k≤1或﹣≤k＜0；

(4)過C點作AB的平行線，交y軸于點P，此時△ABP與△ABC是同底等高的兩個三角形，所以面積相等．

設直線CP的解析式為y＝﹣x+n，

∵C點坐標是(1，1)，

∴1＝﹣+n，解得n＝，

∴直線CP的解析式為y＝﹣x+，

∴P(0，)．

設直線AB：y＝﹣x+交y軸于點D，則D(0，)．

將直線AB向上平移﹣＝2個單位，得到直線y＝﹣x+，與y軸交于點P′，此時△ABP′與△ABP是同底等高的兩個三角形，所以△ABP與△ABC面積相等，易求P′(0，)．

綜上所述，所求P點坐標是(0，)或(0，)．

故答案為(0，)或(0，)．