Question

【題目】如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析.（2）△PDH的周長不發(fā)生變化，理由詳見解析

【解析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及角平分線上一點到角兩邊的距離相等即可解答.

試題分析：（1）∵四邊形EBCF與四邊形EPGF關(guān)于EF對稱，∴∠BPH=∠PBC（軸對稱性質(zhì)）∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC，∴∠APB=∠BPH即得證.

(2) △PDH的周長不發(fā)生變化.由（1）知∠APB=∠BPH即BP為∠APH的角平分線，同理可得：BH為∠CHP的角平分線，過B作BM⊥PH于M，∵BP為∠APH的角平分線，∴PM=AP，∵BH為∠CHP的角平分線，∴MH=CH，∴PH=PM+MH=AP+CH,∴△PDH的周長為DP+PH+DH= DP+AP+CH+DH=AD+CD=8

∴當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長不發(fā)生變化.