Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=﹣x2+2x+3與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N．點(diǎn)P是線(xiàn)段MN上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CP交x軸于點(diǎn)E．

（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ．

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O（原點(diǎn)）重合時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)P從M運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程中，求動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）M（1，4）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，）或（1，）；（3）E的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：．

【解析】

試題分析：（1）將解析式配成頂點(diǎn)式即可．（2）當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)，設(shè)PN=m，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN于F，由△ENP∽△PFC用相似比例建立方程解之即可．（3）找到左右兩個(gè)極端位置即可．P在M點(diǎn)時(shí)，E在右邊最運(yùn)處，這個(gè)時(shí)候求出EN為對(duì)稱(chēng)軸右邊的路徑長(zhǎng)度；E點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，設(shè)EN=y，PN=x，由△ENP∽△PFC列出比例方程，得到y(tǒng)關(guān)于x的二次函數(shù)，配方求出最大值，再加上右邊路徑長(zhǎng)度即為總路徑長(zhǎng)度．

試題解析：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴M（1，4）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)，EN=1，設(shè)PN=m，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN，垂足為F，如圖1，

∵∠EPC=90°，

∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，

∴∠CPF=∠PEN，

∴△ENP∽△PFC

∴ ，即：，

解得：m=

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，）或（1，）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，如圖2，

由△ENM∽△MFC可知，，

∴EN=4，

即當(dāng)點(diǎn)P從M運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)EN為4；

②當(dāng)點(diǎn)P從F運(yùn)動(dòng)到N時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)到某最遠(yuǎn)點(diǎn)后，回到點(diǎn)N結(jié)束．如圖3，

設(shè)EN=y，PN=x，

由△ENP∽△PFC可知， ，即：，

∴y= ，

當(dāng)x= 時(shí)，y有最大值，為 ；

∴E的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：．