Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠EAB＝∠ADB.

(1)求證：EA是⊙O的切線；

(2)已知點(diǎn)B是EF的中點(diǎn)，AF＝4，CF＝2，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）4

【解析】試題分析：（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關(guān)系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切線，

（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中點(diǎn)，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA，可得出，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的長(zhǎng)．

試題解析：(1)證明：如圖，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°.

∴∠ADB+∠EDC ＝90°

∵∠BAC＝∠EDC， ∠EAB ＝∠ADB，

∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°,

∴EA是⊙O的切線；

（2）如圖，連接BC

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°.

∴∠CBA＝∠ABC ＝90°.

∵B是EF的中點(diǎn)，

∴在Rt△EAF中，AB＝BF.

∴∠BAC＝∠AFE

∴△EAF∽△CBA.

∴，

∵AF＝4，CF＝2，

∴AC＝6，EF＝2AB.

∴，解得AB＝，

∴EF＝.

∴AE＝ .