Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，），點(diǎn)O（0，0）．△AOB繞著O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A'OB'，點(diǎn)A、B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，B'，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（Ⅰ）如圖1，A'B'恰好經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，并求出點(diǎn)B'的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖2，若0°＜α＜90°，設(shè)直線AA'和直線BB'交于點(diǎn)P，求證：AA'⊥BB'；

（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值為﹣2．

【解析】

（Ⅰ）作輔助線,先根據(jù)點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)B（0,）,確定∠ABO＝30°,證明△AOA'是等邊三角形,得旋轉(zhuǎn)角α＝60°,證明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐標(biāo);

（Ⅱ）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,再根據(jù)∠BOA'＝90°+α,四邊形OBPA'的內(nèi)角和為360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';

（Ⅲ）作AB的中點(diǎn)M（1,）,連接MP,依據(jù)點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)M為圓心,以MP＝AB＝2為半徑的圓,即可得到當(dāng)PM∥y軸時(shí),點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值為﹣2.

解：（Ⅰ）如圖1，過B'作B'C⊥x軸于C,

∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,

∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,

由旋轉(zhuǎn)得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,

∴△OAA'是等邊三角形,

∴α＝∠AOA'＝60°,

∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,

∴B'C＝OB’＝,

∴OC＝3,

∴B'（3,）,

（Ⅱ）證明：如圖2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',

∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,

∵∠BOA'＝90°+α,四邊形OBPA'的內(nèi)角和為360°,

∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,

即AA'⊥BB';

（Ⅲ）點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值為-2．理由是：

如圖，作AB的中點(diǎn)M（1,）,連接MP,

∵∠APB＝90°,

∴點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)M為圓心,以MP＝AB＝2為半徑的圓,除去點(diǎn)（2,2）,

∴當(dāng)PM⊥x軸時(shí),點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值為﹣2．