Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=x于點(diǎn)M，BC邊交x軸于點(diǎn)N（如圖）．

（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；

（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

（3）設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）．（2）22.5°．（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)扇形的面積公式來(lái)求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；

（2）解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出∠AOM的度數(shù)；

（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子．

試題解析：（1）∵A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°，

∴OA旋轉(zhuǎn)了45°．

∴OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為．

（2）∵M(jìn)N∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=（∠AOC-∠MON）=（90°-45°）=22.5°．

∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化．

證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，

則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化．