Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)、、拋物線過(guò)A、C兩點(diǎn)．

直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒過(guò)點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)E．

過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長(zhǎng)？

連接在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得是等腰三角形？請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值．

Answer 1

【答案】 A的坐標(biāo)為，拋物線的解析式為：；當(dāng)時(shí)，線段EG最長(zhǎng)為2；．

【解析】分析：（1）由于四邊形ABCD為矩形，所以A點(diǎn)與D點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，A點(diǎn)與B點(diǎn)橫坐標(biāo)相同；

（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)表達(dá)式即為點(diǎn)G的橫作標(biāo)表達(dá)式．代入二次函數(shù)解析式，求出縱標(biāo)表達(dá)式，將線段最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題解答．

②若構(gòu)成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三種情況討論．若有兩種情況時(shí)間相同，則三邊長(zhǎng)度相同，為等腰三角形．

詳解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8，AD∥x軸，AB∥y軸，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）．

將A（4，8）、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx得，解得：a=﹣，b=4． 故拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==，即=，∴PE=AP=t．PB=8﹣t，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4+t，8﹣t），∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：﹣（4+t）2+4（4+t）=﹣t2+8，∴EG=﹣t2+8﹣（8﹣t）=﹣t2+t．

∵﹣＜0，∴當(dāng)t=4時(shí)，線段EG最長(zhǎng)為2．

②共有三個(gè)時(shí)刻．

（i）當(dāng)EQ=QC時(shí)，因?yàn)?/span>Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t，所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=t2．

整理得：13t2﹣144t+320=0，解得：t=或t==8（此時(shí)E、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）．

（ii）當(dāng)EC=CQ時(shí)，因?yàn)?/span>E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t，所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：

（4+t﹣8）2+（8﹣t）2=t2．

整理得：t2﹣80t+320=0，t=40﹣16，t=40+16＞8（此時(shí)Q不在矩形的邊上，舍去）．

（iii）當(dāng)EQ=EC時(shí)，因?yàn)?/span>Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：（t﹣4）2+（8﹣2t）2=（4+/span>t﹣8）2+（8﹣t）2，解得：t=0（此時(shí)Q、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）或t=．

于是t1=，t2=，t3=40﹣16．