Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB，PE與DC交于點O．

（基礎探究）

（1）求證：PD=PE．

（2）求證：∠DPE=90°

（3）（應用拓展）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變(如圖)，若PE=3，則PD=________；

若∠ABC=62°，則∠DPE=________.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）,.

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)可得DC=BC，∠ACB=∠ACD，利用SAS證明△PBC≌△PDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得PD=PB，又因PE=PB,即可證得PD=PE；（2）類比（1）的方法證明△PBC≌△PDC，即可得∠PDC=∠PBC.再由PE=PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠PBC=∠E，所以∠PDC=∠E.因為∠POD=∠COE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠DPO=∠OCE=90；（3）類比（1）的方法證得PD=PE=3；類比（2）的方法證得∠DPE=∠DCE，由平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠DCE=62°，由此可得∠DPE=62°.

（1）證明：在正方形ABCD中，DC=BC，∠ACB=∠ACD，

在△PBC和△PDC中，

∵DC=BC，∠ACB=∠ACD（已證），CP=CP（公共邊），

∴△PBC≌△PDC.

∴PD=PB.

又∵PE=PB,

∴PD=PE；

（2）證明：在正方形ABCD中，DC=BC，∠ACB=∠ACD，

在△PBC和△PDC中，

∵DC=BC，∠ACB=∠ACD（已證），,CP=CP（公共邊）

∴△PBC≌△PDC.

∴∠PDC=∠PBC.

又∵PE=PB，∴∠PBC=∠E.

∴∠PDC=∠E.

又∵∠POD=∠COE,

∴∠DPO=∠OCE=90；

（3）在菱形ABCD中，DC=BC，∠ACB=∠ACD，

在△PBC和△PDC中，

∵DC=BC，∠ACB=∠ACD（已證），,CP=CP（公共邊）

∴△PBC≌△PDC.

∴∠PDC=∠PBC，PD=PB.

又∵PE=PB，

∴∠PBC=∠E， PD=PE=3.

∴∠PDC=∠E.

又∵∠POD=∠COE,

∴∠DPE=∠DCE；

∵AB∥CD，∠ABC=62°，

∴∠ABC=∠DCE=62°，

∴∠DPE=62°.

故答案為：3，62°.