【題目】如圖,已知ABC,以AC為底邊作等腰ACD,且使ABC=2CAD,連接BD.

(1)如圖1,若ADC=90°,BAC=30°,BC=1,求CD的長(zhǎng);

(2)如圖1,若ADC=90°,證明:AB+BC=BD;

(3)如圖2,若ADC=60°,探究AB,BC,BD之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】見解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已知求出CD的長(zhǎng);

(2)作DEAB于E,DFBC交BC的延長(zhǎng)線于F,證明AED≌△CFD,得到DE=DF,AE=CF,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明結(jié)論;

(3)延長(zhǎng)BC至G,使CG=AB,證明DAB≌△DCG,得到DBG是等邊三角形,得到答案.

解:(1)∵∠ADC=90°,DA=DC,

∴∠CAD=45°,

∴∠ABC=2CAD=90°,又BAC=30°,

AC=2BC=2,

CD=AC×sinCAD=

(2)作DEAB于E,DFBC交BC的延長(zhǎng)線于F,

∵∠ADC=90°,DA=DC,

∴∠CAD=45°,

∴∠ABC=2CAD=90°,

四邊形DEBF是矩形,

∵∠ABC=ADC=90°,

∴∠BAD+BCD=180°,

∴∠BAD=FCD,

AEDCFD中,

,

∴△AED≌△CFD,

DE=DF,AE=CF,

四邊形DEBF是矩形,DE=DF,

四邊形DEBF是正方形,

BE=BF=BD,又AE=CF,

AB+BC=BE+BF=BD;

(3)BD=AB+BC.

延長(zhǎng)BC至G,使CG=AB,

∵∠ADC=60°和等腰ACD,

∴△ACD是等邊三角形,

∴∠ABC=2CAD=120°,

∴∠BAD+BCD=180°,

∴∠BAD=GCD

DABDCG中,

∴△DAB≌△DCG,

DB=DG,CDG=ADB,又ADB+BDC=60°

CDG+BDC=60°,

∴△DBG是等邊三角形,

BD=BG=AB+BC

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