Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=6 ，tan∠ABC=2，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對(duì)應(yīng)線段CF．

（1）求證：BE=DF；
（2）當(dāng)t=秒時(shí)，DF的長(zhǎng)度有最小值，最小值等于；
（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q，當(dāng)t為何值時(shí)，△EPQ是直角三角形？
（4）如圖3，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對(duì)應(yīng)線段CG．在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于直線AD上方時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF=∠BCE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC=BC，

在△DCF和△BCE中，

∵ ，

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF=BE

（2）6 +6；12
（3）

解：∵CE=CF，

∴∠CEQ＜90°，

①當(dāng)∠EQP=90°時(shí)，如圖2①，

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°，

∵AB=CD=6 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=6，

∴t=6秒；

②當(dāng)∠EPQ=90°時(shí)，如圖2②，

∵菱形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，

∴EC與AC重合，

∴DE=6 ，

∴t=6 秒

（4）

解：y= t﹣12﹣ ，

如圖3，連接GF分別交直線AD、BC于點(diǎn)M、N，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，

由（1）知∠1=∠2，

又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，

∴∠DCE=∠GCF，

在△DCE和△GCF中，

∵ ，

∴△DCE≌△GCF（SAS），

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，∠1=∠2，

∴∠2=∠4，

∴GF∥CD，

又∵AH∥BN，

∴四邊形CDMN是平行四邊形，

∴MN=CD=6 ，

∵∠BCD=∠DCG，

∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，

∴CN=CG=CD=6 ，

∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，

∴GN=12，

∴GM=6 +12，

∵GF=DE=t，

∴FM=t﹣6 ﹣12，

∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，

∴FH= （t﹣6 ﹣12），

即y= t﹣12﹣

【解析】解：（2）如圖1，

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E′時(shí)，DF=BE′，此時(shí)DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6 ，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，
∴設(shè)AE′=x，則BE′=2x，
∴AB= x=6 ，
則AE′=6
∴DE′=6 +6，DF=BE′=12，
所以答案是：6 +6，12；
【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．