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【題目】設在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值,y都有唯一確定的值和它對應,那么就說y是x的函數,記作y=f(x).在函數y=f(x)中,當自變量x=a時,相應的函數值y可以表示為f(a).
例如:函數f(x)=x2﹣2x﹣3,當x=4時,f(4)=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐標系xOy中,對于函數的零點給出如下定義:
如果函數y=f(x)在a≤x≤b的范圍內對應的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且f(a).f(b)<0,那么函數y=f(x)在a≤x≤b的范圍內有零點,即存在c(a≤c≤b),使f(c)=0,則c叫做這個函數的零點,c也是方程f(x)=0在a≤x≤b范圍內的根.
例如:二次函數f(x)=x2﹣2x﹣3的圖象如圖1所示.

觀察可知:f(﹣2)>0,f(1)<0,則f(﹣2).f(1)<0.所以函數f(x)=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范圍內有零點.由于f(﹣1)=0,所以,﹣1是f(x)=x2﹣2x﹣3的零點,﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根.
(1)觀察函數y1=f(x)的圖象2,回答下列問題:
①f(a)f(b) 0(“<”“>”或“=”)
②在a≤x≤b范圍內y1=f(x)的零點的個數是
(2)已知函數y2=f(x)=﹣ 的零點為x1 , x2 , 且x1<1<x2
①求零點為x1 , x2(用a表示);
②在平面直角坐標xOy中,在x軸上A,B兩點表示的數是零點x1 , x2 , 點 P為線段AB上的一個動點(P點與A、B兩點不重合),在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN,記線段MN的中點為Q,若a是整數,求拋物線y2的表達式并直接寫出線段PQ長的取值范圍.

【答案】
(1)<;1
(2)

解:①∵x1、x2是零點

∴當y=0時,即﹣ =0.

方程可化簡為 x2+2(a﹣1)x+(a2﹣2a)=0.

解方程,得x=﹣a或x=﹣a+2.

∵x1<1<x2,﹣a<﹣a+2,

∴x1=﹣a,x2=﹣a+2.

②∵x1<1<x2

∴﹣a<1<﹣a+2.

∴﹣1<a<1.

∵a是整數,

∴a=0,所求拋物線的表達式為y=﹣ x2+2

此時頂點C的坐標為C(1, )如圖2,

,

作CD⊥AB于D,連接CQ,

則AD=1,CD= ,tan∠BAC= ,

∴∠BAC=60°

由拋物線的對稱性可知△ABC是等邊三角形;

由△APM和△BPN是等邊三角形,線段MN的中點為Q可得,

點M、N分別在AC和BC邊上,四邊形PMCN的平行四邊形,

C、Q、P三點共線,且PQ= PC;

∵點P線段AB上運動的過程中,P與A、B兩點不重合,

DC≤PC<AC,DC= ,AC=2,

≤PQ<

≤PQ<1;

線段PQ的長的取值范圍為: ≤PQ<1


【解析】解:(1)①由圖象1,得f(a)f(b)<0,

②在a≤x≤b范圍內y1=f(x)的零點的個數是 1.
所以答案是:<,1;

練習冊系列答案
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=( 2+( 2
=( 2+
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A.
B.
C.
D.

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如圖2,當AH>BF時,若將點G向點C靠近(DG>AE),經過探索,發(fā)現:2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S
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(Ⅲ)遷移應用:
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⑴如圖4,點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點,已知AH>BF,AE>DG,S四邊形EFGH=11,HF= ,求EG的長.

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